发布时间 : 星期日 文章摘要+论文+参考书目+致谢更新完毕开始阅读9efb4b886529647d272852f6
中北大学2010届毕业设计说明书
求式(2.8)的第二个积分：
?????) (式2.9) ?P(?,?)ej2??rco?s?(d?上式可写成空域变量为xr的傅里叶反变换式：
?????P(?,?)ej2??rcos(???)d???????P(?,?)ej2??xr|xr?rcos(???)d?
?h(xr)?p(xr,?)|xr?rcos(???)
?g(xr,?)|xr?rcos(???) (式2.10a)
?g(rcos(???),?)
式中，
g(xr,?)?p(xr,?)?h(xr) (式2.10b) 而h(xr)?F1?1[?]，p(xr,?)?F1?1[P(?,?)]。因此，式(2.10)和式(2.9)的结果代表的物理意义是：投影p(xr,?)经过传递函数为??F[h(xr)]的滤波器滤波后得到的修正后的投影g(xr,?)在xr?rcos(???)处取值。后者恰是通过定点(r,?)的射线方程。
把式(2.10)代入式(2.8)后得：
?(r, t (式2.11) (???)?,]d??)??g[rcos0?上式的物理意义是：经过给定点(r,?)的所有滤波后的(射线)投影在0~?范围内的累加——反投影重建，得出(r,?)点的象素值。 2.3 滤波反投影重建算法的计算机实现
对成像目标，采集(一维)投影数据的方法可分为平行投影和扇形投影，相应的扫描方式分别为平行射束扫描和扇形射束扫描。本论文只讨论平行射束情下，滤波反投影算法的计算机实现。 2.3.1 滤波函数
由式(2.10a)和式(2.10b)可知，需先把投影p(xr,?)作一维滤波。滤波器的传递函数为H(?)???F[h(xr)]。可以证明这一理想的滤波函数?是不能实现的。我们的
第 7 页 共 56 页
中北大学2010届毕业设计说明书
目的是：选取这样的滤波函数，使它既可实现，又有足够的精度。
众所周知，在物体尺寸有限的情况下，投影数据的空间分布是有限的，因而严格说来，其频带是无限的。但若物体密度在空间变化是平稳的，则高频分量幅度确实不大。另外，检测器在接收X射线强度时有平均作用，相当于低通滤波。再者，有限的X射线源尺寸，也提供了附加的低通滤波效应。因此，不管怎样，只要采样间隔d足够小，完全有理由认为高频分量很小，投影数据的频带限制在 由折叠频率所规定的区间内，即??B?1/(2d)。
由于投影数据在空间上的天然离散性，有：
p(xr,?)|xr?nd?{p(nd,?)} (式2.12)
式中d为射束平移的歩距，n为整数，?为某一固定的视角，{?}表示序列。与此相应，滤波函数也取离散形式：
{h(nd)}?h(xr)|x?nd?rh(nd)?(xr?nd) (式2.13) ?n????常用的滤波函数有S-L函数和R-L函数。 R-L函数的系统函数HR?L(?)：
HR?L(?)??W(?)??rect(?) (式2.14) 2B式中，B?
1，且 2d?)? 2 B (式2.15)
0,??B rect(B1,??B 相应的冲激响应hR?L(xr)： hR?L(xr)??
?B?ej2??xrd?
sin2?xrBsin?xrB2?B2()
2?xrB?xrB?2B2
?2B2sinc(2xrB)?B2sinc2(xrB) (式2.16)
相应的采样序列hR?L(nd)：
第 8 页 共 56 页
中北大学2010届毕业设计说明书
这里的采样间隔为d，对应的最高不是真空间频率为1/(2d)，以xr?nd代入式(2.14),得到hR?L(xr)的离散形式如下：
1,n?0 24d
其图形见图2.7。
hR?L(xr)? (式2.17)
0，n=偶数 ?1n2?2d2，n=奇数
图2.7 离散表示hR?L(xr)
S-L滤波函数的系统函数HS?L(?)：
HS?L(?)??sinc(相应的冲激响应hS?L(xr)：
??2B???)rect()?sinrect() (式2.18) 2B2B?2B2BhS?L(xr)??B2B?B?sin??j2??xred?2B?
14B21?4Bxrsin(2?4Bxr)?() (式2.19) 22?1?(4Bxr)相应的采样序列hS?L(nd)：
仍取采样间隔d?1/(2B)，对hS?L(xr)进行均匀采样，即以xr?nd?n/(2B)代入
第 9 页 共 56 页
中北大学2010届毕业设计说明书
式(2.17)，得：
hS?L(nd)??其图形见图2.8。
2,n?0,?1,?2,... (式2.20)
(4n2?1)?2d2
图2.8 离散表示hS?L(xr)
用S-L滤波函数重建的图像其振荡响应减小，对含噪声数据的重建质量也较R-L滤波函数情况为好，但在低频段不及R-L滤波函数的重建质量高。 2.3.2 内插函数
重建后的图像密度由式(2.8)和式(2.10a)求得为： ?h(xr)?p(xr,?)|x?rcos(???)d?
r0???0d????h(xr?xr')p(xr',?)|xr?rcos(???)dxr'
???p(nd,m?)h(xr?nd)|xr?xcosm??ysinm? (式2.21)
m?0?NN?N?? 上式中给定??m?。可见，重要的是求出滤波后的投影
?(xr,m?)??p(nd,m?)h(xr?nd)p?NNN
??p(nd,m?)?(xr?nd)*h(xr)?{p(nd)}*h(xr) (式2.22)
?Nn'为一整数；式中,xr?xcosm??ysinm?。一般xr?n'd，故(xr?nd)?(n'?n)d，
h(xr?nd)?h((n'?n)d)。
第 10 页 共 56 页