发布时间 : 星期日 文章(江苏专版)18高考数学大一轮复习第三章导数及其应用练习文更新完毕开始阅读9d3be7fce418964bcf84b9d528ea81c759f52eda
4. (0,+∞) 【解析】设g(x)=ef(x)-e,则g '(x)=ef(x)+ef'(x)-e.因为f(x)+f '(x)>1,
x所以f(x)+f '(x)-1>0,所以g '(x)>0,所以y=g(x)在定义域R上单调递增.因为ef(x)>ex+3,
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所以g(x)>3.又因为g(0)=ef(0)-e=3,所以g(x)>g(0),所以x>0,故不等式的解集为(0,+∞).
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5. 【解答】(1) 由题意得f'(x)=3x+2ax+1,x∈R.当a≤3时,Δ≤0,f'(x)≥0,则f(x)在R
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上单调递增;当a>3时,由f'(x)=0,得x1=,x2=, 则函数f(x)在,上单调递增,在上单调递减.
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(2) 因为函数f(x)在区间上是减函数,所以f'(x)=3x+2ax+1<0在上恒成立,即f'(x)在上的
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最大值恒小于等于0.因为f'(x)=3x+2ax+1的图象是开口向上的抛物线,所以它的最大值在区间的端点处取得.由得所以a≥2.故a的取值范围是[2,+∞). 6. 【解答】(1) 由题意知当a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞). 此时f'(x)=,所以f'(1)=.
又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0. (2) 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=+=.
当a≥0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
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当a<0时,令g(x)=ax+(2a+2)x+a,
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则Δ=(2a+2)-4a=4(2a+1).
①当a≤-时,Δ≤0,f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②当-
设x1,x2(x1 因为x2>x1==>0, 因此,当x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减. 综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当- 第19课 利用导数研究函数的最(极)值 A 应知应会 1. + 【解析】因为y=x+2cosx,所以y'=1-2sinx.令y'=1-2sinx=0,得x=.当x∈时,y'>0,则y单调递增;当x∈时,y'<0,则y单调递减.因此当x=时,y取得极大值,且极大值为+.又当x=0时,y=2;当x=时,y=.故函数y=x+2cosx在区间上的最大值是+. 2 2. - 【解析】因为f'(x)=3x+2ax+b,由题意知即解得或经检验,只有满足题意,故=-. 2 3. 5 【解析】f'(x)=3x+2ax+3,当x=-3时,f'(x)=0,所以a=5. 2 4. (0,3) 【解析】f'(x)=-3x+2mx=x(-3x+2m),令f'(x)=0,得x=0或x=.因为x∈(0,2),所以0<<2,所以0 由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线的斜率为0,即f'(1)=0,从而a-+=0,解得a=-1. (2) 由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0),f'(x)=--+==. 令f'(x)=0,解得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3. xx6. 【解答】(1) 当a=0时,f(x)=xe,则f'(x)=e(x+1). 令f'(x)=0,得x=-1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 9 xxxxxx f'(x) f(x) (-∞, -1) -1 0 极小值 (-1, +∞) - ↘ + ↗ 所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-,无极大值. (2) ①当a≤0时,由于对于任意的x∈,有sinxcosx≥0,所以f(x)≥0恒成立, 即当a≤0时,符合题意. ②当0 即当0 ③当a>1时,f'(0)=1-a<0,f'=>0,所以存在α∈,使得f'(α)=0,且在(0,α)内,f'(x)<0,所以f(x)在(0,α)上为减函数,所以当x∈(0,α)时,f(x) 22 1. 【解析】f'(x)=x+2ax+a, 由题意得 即 32 解得或经验证,当时,f(x)在x=-1处没有极值,舍去,故f(x)=x+x-x-1,所以f(2)=. 22 2. (-∞,0)∪(9,+∞) 【解析】因为f'(x)=3x-2ax+3a,所以Δ=4a-36a>0,即a<0或a>9. 2 3. 【解析】令sinx=t,由x∈(0,π)知t∈(0,1],则函数y=+=-,所以y'=-+=,当0 4. 【解析】当4≤x2≤6时,f(x2)=log2(x2-2)+2∈[3,4].由题意知3≤-+4x1≤4,解得 32 1≤x1≤3,所以x1f(x2)=x1f(x1)=-+4.令g(x)=-x+4x,x∈[1,3].由g'(x)=0,解得x=.当1≤x<时,g'(x)>0,则g(x)在上为增函数;当 5. 【解答】由题意得lnx+≥a对于任意x∈(0,+∞)恒成立, 等价于xlnx+a+e-2-ax≥0对于任意x∈(0,+∞)恒成立, 令g(x)=xlnx+a+e-2-ax, 则g'(x)=lnx+1-a. a-1 令g'(x)=0,得x=e, 当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表: a-1(0,ea-1a-1x e (e,+∞) ) g'(x- 0 + ) 极小g(x) ↘ ↗ 值 a-1a-1a-1a-1 所以g(x)的最小值为g(e)=(a-1)·e+a+e-2-ae=a+e-2-e. a-1a-1 令t(a)=a+e-2-e,则t'(a)=1-e. 令t'(a)=0,得a=1,当a变化时,t'(a),t(a)的变化情况如下表: a (0,1) 1 (1,+∞) t'(a) + 0 - t(a) ↗ 极大值 ↘ 所以当a∈(0,1)时,g(x)的最小值t(a)>t(0)=e-2-=>0; a-1 当a∈[1,+∞)时,由g(x)的最小值t(a)=a+e-2-e≥0=t(2),得a∈[1,2]. 综上,实数a的取值范围为(0,2]. 6. 【解答】(1) 由f(x)=a+lnx知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(2+lnx). 10 令f'(x)=0,得x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 因此,函数f(x)的单调减区间为,单调增区间为. (2) 由(1)知f(x)min=f=a-. ①若a>,因为f(x)≥f(x)min=f=a->0,所以此时函数f(x)的零点个数为0. ②若a=,则f(x)min=f=a-=0. 又函数f(x)在上是减函数,在上是增函数, 即当x∈∪时,f(x)>f=0. 因此,此时f(x)有唯一零点,即零点个数为1. ③若a<,则f(x)min=f=a-<0. 当a≤0时,因为当x∈时,f(x)=a+lnx -2a-2a-a因为函数f(x)在上是增函数,且f=a-<0,又e∈,f(e)=a(1-2e)≥0,所以函数f(x)在上恰有一个零点, 所以函数f(x)在上恰有一个零点. 从而当a≤0时,函数f(x)的零点个数为1. 当0 所以函数f(x)在上恰有一个零点,于是函数f(x)在上也恰有一个零点. x2 因为函数f(x)在上是减函数,且f=a-<0,又∈,且f()=a->a-=0(利用结论“当x>0时,e>x”进行放缩), 此时,函数f(x)在上恰有一个零点. 故当0 综上,当a>时,函数f(x)的零点个数为0;当a=或a≤0时,函数f(x)的零点个数为1;当0 第20课 导数的综合应用 A 应知应会 232 1. (-∞,0] 【解析】y'=3ax-1,因为函数y=ax-x在R上是减函数,所以3ax-1≤0在R上恒成立,所以a≤0. 2. (-1,1) 【解析】f'(x)=3x2-3a2,令f'(x)=0,则x=±a.由题意知当a<0时,f(a)=a3-3a3+1<3, 3333 即a>-1,所以-1 2 3. 9 【解析】因为y'=-x+81,所以当x>9时,y'<0;当x∈(0,9)时,y'>0.所以函数 y=-x3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值. 22 4. 2 【解析】设正六棱柱的底面边长为a,高为h,则可得a+=9,即a=9-,那么正六棱柱的 2 体积V=6·a·h=·h=·.设y=-+9h(0 2 5. 【解答】(1) f'(x)=3x-9x+6=3(x-1)·(x-2),因为x∈(-∞,+∞),f'(x)≥m恒成立,即2 3x-9x+(6-m)≥0恒成立,所以Δ=81-12(6-m)≤0,解得m≤-,即m的最大值为-. (2) 因为当x<1时,f'(x)>0;当1 所以当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=-a;当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=2-a.故当f(2)>0或f(1)<0时,方程f(x)=0有且仅有一个实数根, 解得a<2或a>,即实数a的取值范围为(-∞,2)∪. 6. 【解答】设方案一、二中多边形苗圃的面积分别为S1,S2. 方案一:设AE=x,则S1=x(30-x)≤=(当且仅当x=15时, 等号成立). 方案二:设∠BAE=θ,则S2=100sinθ(1+cosθ),θ∈. 11 θ S'2 S2 令S'2=100(2cosθ+cosθ-1)=0,得cosθ=(cosθ=-1舍去). 因为θ∈,所以θ=. 当θ变化时,S'2,S2的变化情况如下表: + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以当θ=时,(S2)max=75. 因为<75,所以建苗圃时用方案二,且∠BAE=. 22 综上,方案一、二中苗圃的最大面积分别为 m,75m,建苗圃时用方案二,且∠BAE=. B 巩固提升 x1. (-∞,-1) 【解析】y'=e+a,由y'=0,得x=ln(-a).因为x>0,所以-a>1,所以a<-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1). 2. (-2,2) 【解析】y'=3(1-x)(1+x),令y'=0,得x=±1,所以y极大值=2,y极小值=-2,作出函数y=3x-x3和y=m的大致图象如图所示,根据图象知-2 2 (第2题) 22 3. 【解析】由题意知f'(x)=3x+8x+4.令f'(x)=0,得3x+8x+4=0,解得x=-2或x=-.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: (-∞-2, -, x , -2 - -2) - +∞ 'f(x+ 0 - 0 + ) f(x) ↗ c ↘ c- ↗ 所以,当c>0且c-<0时,存在x1∈(-∞,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的 32 单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)=x+4x+4x+c有三个不同的零点. 4. (-∞,-1] 【解析】由aln x≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.由于x∈[1,e],ln x≤1≤x,且等号不能同时取得,所以ln x 5. 【解答】(1) f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-a. 若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0. 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减. (2) 由(1)知当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln +a=-ln a+a-1.因此f>2a-2?ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g'(a)=+1,当a>0时,g'(a)>0,所以g(a)在(0,+∞)上是增函数,g(1)=0,于是当0 12