发布时间 : 星期日 文章(江苏专版)18高考数学大一轮复习第三章导数及其应用练习文更新完毕开始阅读9d3be7fce418964bcf84b9d528ea81c759f52eda
(第6题)
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第三章 导数及其应用 第16课 导数的概念及运算
A 应知应会
1. -6 【解析】f'(x)=2x+2f'(1),f'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=-2,所以f'(x)=2x-4,故f'(-1)=-6.
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2. 4 m/s 【解析】由题意知汽车的速度函数为v(t)=s'(t)=6t-2gt,则v'(t)=12t-2g,故
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当t=2 s时,汽车的加速度是v'(2)=12×2-2×10=4(m/s). 3. 2 【解析】由题设得f'(x)=-,当x=1时,-a=-2,即a=2.
4. (2,+∞) 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2->0,解得x>2.
xnx5. 【解答】(1) y'=ne+xe= xe(n+x). (2) y'==-.
xxx(3) y'=eln x+e·=e.
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(4) 因为y=(x+1)(x-1)=(x+1)·(x-1)=x+x-x-1,
2
所以y'=3x+2x-1.
6. 【解答】(1) Δs=s(20+Δt)-s(20)=
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10(20+0.1)+5(20+0.1)-10×20-5×20=21.05(m). ==210.5(m/s).
(2) 由导数的定义知瞬时速度为v(t)====5Δt+10t+10. 当Δt→0,t=20s时,v=10×20+10=210(m/s). B 巩固提升
1. Δx+2 【解析】==Δx+2.
2. 1 【解析】由题意得f'(x)=-f'sin x+cos x? f'=-f'sin+cos,所以f'==-1,所以f(x)=(-1)cos x+sin x,所以f=(-1)cos+sin=1.
3. 3 【解析】因为f'(x)=a(1+ln x),所以f'(1)=a=3.
4. 1 【解析】f2(x)=f'1(x)=cos x-sin x,f3(x)=f'2(x)=-sin x-cos x,f4(x)=f'3(x)=sin x-cos x,f5(x)=f'4(x)=sin x+cos x,故周期为4,前四项和为0,所以原式=f1=sin +cos =1. 5. 【解答】(1) 因为该物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,
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该物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×5+2-(3×3+2)=3×(5-3)=48, 所以该物体在t∈[3,5]内的平均速度为==24 (m/s).
(2)求该物体的初速度v0即求该物体在t=0时的瞬时速度. 因为该物体在t=0附近的平均变化率为= =
=3Δt-18,
当Δt无限趋近于0时,=3Δt-18无限趋近于-18, 所以该物体的初速度v0为-18 m/s.
(3) 该物体在t=1时的瞬时速度即为函数s在t=1处的瞬时变化率. 因为物体在t=1附近的平均变化率为= =
=3Δt-12,
当Δt无限趋近于0时,=3Δt-12无限趋近于-12, 所以该物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.
2
6. 【解答】(1) f'(x)=3x-6x+2,f″(x)=6x-6. 令f″(x)=6x-6=0,得x=1, f(1)=1-3+2-2=-2,
所以拐点A的坐标为(1,-2).
(2) 设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=-3+2x0-2. 因为P(x0,y0)关于点A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0), 将P'代入y=f(x),得左边=-4-y0=-+3-2x0-2,
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右边=(2-x0)-3(2-x0)+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2,
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所以左边=右边,
所以点P'(2-x0,-4-y0)在函数y=f(x)的图象上, 所以y=f(x)的图象关于点A对称.
第17课 曲线的切线
A 应知应会
1. 1 【解析】因为f'(x)=2ax+3,由题意知2a×2+3=7,解得a=1.
x0
2. 5x+y+2=0 【解析】因为y'=-5e,所以所求切线的斜率k=-5e=-5,所以切线方程是y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
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3. 【解析】由题意得f'(x)=6ax,所以f'(1)=6a=2,所以a=.
4. 【解析】设曲线y=lnx在点(x0,y0)处的切线与直线x-y+1=0平行.因为y'=,令=1,解得x0=1,所以切点坐标为(1,0),所以距离的最小值为点(1,0)到直线x-y+1=0的距离,即为.
2
5. 【解答】由题意知f'(x)=3x+2ax-9=3-9-, 即当x=-时,函数f'(x)取得最小值-9-.
因为曲线y=f(x)斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,
2
所以-9-=-12,即a=9, 所以a=±3.
xxxx6. 【解答】由y=(ax-1)e,得y'=ae+(ax-1)e=(ax+a-1)e.由y=,得y'==.
由题意知(ax0+a-1)·=-1,即(ax0+a-1)(x0-2)=-1在上有解,方程可化为ax0+a-1=-.设f(x0)=ax0+a-1,g(x0)=-,作图可知1≤a≤.
另法:方程可化为a=,求函数t(x0)=在x0∈上的值域即可
故实数a的取值范围为. B 巩固提升
1. y=-x+1+ 【解析】因为f'(x)=-f'(0)sin x+cos x,则f'(0)=-f'(0)·sin 0+cos 0,所以f'(0)=1,所以f(x)=cos x+sin x,所以f'=-1,f=1,所以切线方程为y=-x+1+.
2. 64 【解析】由题知x>0,y'=-,所以k=-,切线方程为y-=-(x-a).令x=0,得y=;令y=0,得x=3a.所以三角形的面积S=·3a·==18,解得a=64.
3. (-∞,0) 【解析】由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为“当x>0时,导函数f'(x)=2ax+存在零点”,即等价于“方程2ax+=0在(0,+∞)上有解”,显然a=-∈(-∞,0).
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4. y=0或y=4x-4 【解析】设两个切点的坐标依次为(x1,),(x2,-(x2-2)).由题意得 解得或从而切线方程为y=0或y=4x-4. 5. 【解答】(1) 设f(x)=, 则f'(x)=1-,
所以k=f'(2)=1-=. 又因为f(2)==,
所以所求切线方程为y-=(x-2), 即3x-4y+4=0.
(2) 由题知曲线y=(x>0)与直线3x-4y-11=0不相交,所以设曲线在点(x0,y0)处的切线与直线3x-4y-11=0平行.因为y'=1-,令1-=,解得x0=2,所以切点坐标为,所以距离的最小值为点到直线3x-4y-11=0的距离,即为3. 6. 【解答】(1) 由题意可知y1=x1+, y2=x2+.
因为f'(x)=1-,
所以切线PM的方程为y-=(x-x1). 又切线PM过点P(1,0), 所以0-=(1-x1),
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即+2tx1-t=0. ①
同理,由切线PN也过点P(1,0),得+2tx2-t=0. ②
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由①②可得x1,x2是关于x的方程x+2tx-t=0的两根. (2) 由(1)知 MN= = =,
所以g(t)=(t>0).
第18课 利用导数研究函数的单调性
A 应知应会
2
1. (2,+∞)和 【解析】因为函数f(x)=x-5x+2lnx,且x>0,令f'(x)=2x-5+>0,解得x>2或0 2. (0,e) 【解析】因为f(x)=lnx+, x>0,所以f'(x)=-=,所以当x∈(0,e)时,f'(x)<0,故函数f(x)在(0,e)上单调递减. 22 3. 3 【解析】由题意知f'(x)=3x-a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x在[1,+∞)上恒成立, 22 又(3x)min=3×1=3,所以a≤3,故amax=3. 2 4. (-∞,-1] 【解析】由f(x)=-(x-2)+bln x,得f'(x)=-(x-2)+(x>0).由题意知f'(x)≤0,即-(x-2)+≤0在(1,+∞)上恒成立,所以b≤[x(x-2)]min,当x∈(1,+∞)时,[x(x-2)]∈(-1,+∞),所以b≤-1. 5. 【解答】(1) 由函数f(x)的图象过点P(1,2),得f(1)=2,所以a+b=1. 因为函数图象在点P处的切线的斜率为8,所以f'(1)=8. 2 又f'(x)=3x+2ax+b, 所以2a+b=5. 因此,a=4,b=-3. 2 (2) 由(1)得f'(x)=3x+8x-3. 令f'(x)>0,得x<-3或x>; 令f'(x)<0,得-3 故函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),;单调减区间为. 6. 【解答】由f'(x)=lnx-2ax+2a,x>0, 得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞), 则g'(x)=-2a=. 当a≤0,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0,x∈时,g'(x)>0,则函数g(x)在上单调递增; 当a>0,x∈时,g'(x)<0,则函数g(x)在上单调递减. 综上,当a≤0时,函数g(x)的单调增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数g(x)的单调增区间为,单调减区间为. B 巩固提升 1. 【解析】由题意得y'=1-2cosx, x∈(0,2π).令y'>0,得cosx<,所以 xx2. (1,2) 【解析】由f(x)=ln x+2,得f'(x)=+2ln 2>0,x∈(0,+∞),所以f(x)在(0,+∞) 22 上单调递增.又由f(x+2) 3. (-∞,-2) 【解析】①当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.②当a≠0 232 时,f'(x)=3ax-6x,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.当a>0时,>0,所以函数f(x)=ax-3x+1在(-∞,0)和上为增函数,在上为减函数.因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0, 32 不成立.当a<0时,<0,所以函数f(x)=ax-3x+1在和(0,+∞)上为减函数,在上为增函数.因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2.又因为a<0,故实数a的取值范围为(-∞,-2). 8