发布时间 : 星期六 文章2020高考数学一轮复习第八章立体几何8-3空间点直线平面之间的位置关系学案理更新完毕开始阅读9d03ff23f9c75fbfc77da26925c52cc58bd690bc
2019年
③若a,b不同在平面α内,则a与b异面; ④若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面.
答案:④
解析:①②③中的两直线可能平行、相交或异面,由异面直线的定义可知④正确.[考情聚焦] 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容,并且常作为
某一选项来考查,其中异面直线及平行关系是考查的重点.
主要有以下几个命题角度:
角度一
两直线位置关系的判定
[典题2] (1)已知a,b,c为三条不重合的直线,已知下列结论:
①若a⊥b,a⊥c,则b∥c; ②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c; ③若a∥b,b⊥c,则a⊥c. 其中正确的个数为( )
B.1 D.3
A.0 C.2 [答案] B
[解析] 解法一:在空间中,若a⊥b,a⊥c,则b,c可能平行,也可能相交,
还可能异面,所以①②错误,③显然成立.
解法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错误,③正确.
(2) [2017·浙江余姚模拟]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,
CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行
2019年
[答案] D
[解析] 如图,连接C1D,在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;
∵CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴CC1⊥BD,
∴MN与CC1垂直,故A正确;
∵AC⊥BD,MN∥BD,
∴MN与AC垂直,故B正确; ∵A1B1与BD异面,MN∥BD,
∴MN与A1B1不可能平行,故D错误.故选D.
[点石成金] 点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平
行、线面垂直、面面平行、面面垂直.
角度二
异面直线的判定
[典题3] (1)在下图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
① ② ③ ④
[答案] ②④
[解析] 图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M?平面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G, M,N共面,但H?平面GMN,因此GH与MN异面.所以在图②④中,GH与MN异面.(2)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正
方体中互为异面的对数为________对.
[答案] 3
[解析] 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH
2019年
在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,
CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.
[点石成金] 异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定
假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.
考点3 异面直线所成角
[典题4] 如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1
中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
B.5 D.5 42
A. C.
[答案] D
[解析] 连接BC1,易证BC1∥AD1,
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.
连接A1C1,由AB=1知, AA1=2,A1C1=,A1B=BC1=, 故cos∠A1BC1==.
则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
[题点发散1] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若平面ABCD内有且仅
有一点到顶点A1的距离为1”,问题不变.
解:因平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1,则AA1=1.
此时正四棱柱变为正方体ABCD-A1B1C1D1, 由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1,连接A1C1.
则△A1BC1为等边三边形,
∴∠A1BC1=60°, ∴cos∠A1BC1=,
故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
2019年
[题点发散2] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线A1B与
AD1所成角的余弦值为”,试求的值.
解:设=t,则AA1=tAB.
∵AB=1,∴AA1=t. ∵A1C1=,A1B==BC1,
∴cos∠A1BC1==,
∴t=3,即=3.
[题点发散3] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,则是否存在过顶点A的直线 l,使l与棱AB,AD,
AA1所成角都相等.若存在,存在几条?若不存在,请说明理由.
解:由条件知,此时正四棱柱为正方体.
如图,连接对角线AC1,
显然AC1与棱AB,AD,AA1所成角都相等,联想正方体的其他体对角线. 如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,
所以体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.
同理体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成角都相等,故过A作BD1,A1C,
DB1的平行线都满足,故这样的直线可以作4条.
[点石成金] 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
(2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;
(3)三求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要
求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD所成的角为60°,点M,N分别
是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角的大小. 解:解法一:如图,取AC的中点P,连接PM,PN,
则PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD,