发布时间 : 星期五 文章2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.1.1数系的扩充和复数的概念更新完毕开始阅读9c1545286394dd88d0d233d4b14e852459fb39db
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
填一填
1.复数的有关概念 (1)复数
①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
(2)复数集
①定义 ：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． 2．复数的分类
?实数?b＝0?
?纯虚数a＝0(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)??
虚数?b≠0??
???非纯虚数a≠0
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，a＋bi＝0?a＝b＝0.
判一判 1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(×) 2．复数z1＝3i，z2＝2i，则z1>z2.(×) 3．复数z＝bi是纯虚数．(×)
4．实数集与复数集的交集是实数集．(√) 5．若a为实数，则z＝a一定不是虚数．(√)
6．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√) 7．复数z＝a＋bi的实部为a，虚部为bi.(×) 8．任何数的平方都不小于0.(×)
想一想 1.虚数单位i的基本特征是什么？
(1)i2＝－1；
(2)i可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立．
虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集． 2．复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？ a＋bi(a，b∈R)；实部和虚部分别相等． 3．实数、虚数、纯虚数的含义分别如何？
设z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．
感悟体会
练一练 1.(1＋3)i的实部与虚部分别是( ) A．1，3 B．1＋3，0 C．0,1＋3 D．0，(1＋3)i
解析：由复数的定义知，(1＋3)i的实部为0，虚部为1＋3，故选C. 答案：C
2．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是( ) A．a＝0 B．a＝0且b≠0
C．a≠0且b＝0 D．a≠0且b≠0
解析：由纯虚数的概念知：a＝0且b≠0是z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，那么必要不充分条件可以为a＝0，故选A.
答案：A
3．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
2??m－3m－1＝3，
解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，∴?2
?m－5m－6＝0，?
解得m＝－1，故选B.
答案：B
4．若复数z＝cos θ＋(m－sin θ－cos θ)i为虚数，则实数m的取值范围是____________________．
π22
θ＋?解析：依题意有m≠sin θ＋cos θ.因为sin θ＋cos θ＝2?sin θ＋cos θ?＝2sin ??4?2?2?
∈[－2，2]，所以m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
知识点一 1.下列命题中，正确的是( ) A．1－ai(a∈R)是一个复数
B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小
复数的概念
D．若a>b，则a＋i>b＋i
解析：由复数的定义知A正确；当a∈R，b＝0时，a＋bi(b∈R)表示实数，B选项错误；如果两个复数同时是实数时，可比较大小，C选项错误；a＋i与b＋i不能比较大小，D选项错误，故选A.
答案：A
2．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( ) A．2－2i B．－5＋5i C．2＋i D.5＋5i
解析：依题意，新复数的实部为2，虚部为－2，所以新复数是2－2i，故选A. 答案：A
知识点二 复数的分类 3.若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( ) A．1 B．－1 C．±1 D．以上都不对
2??x－1＝0，
解析：∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴?2解得x＝1，故选A.
?x＋3x＋2≠0，?
答案：A
m2＋m－6
4．已知i为虚数单位，当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
m
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
2??m－2m＝0
解析：(1)当?，即m＝2时，复数z是实数．
?m≠0?
(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
m2＋m－6??＝0
m(3)当?，即m＝－3时，复数z是纯虚数. ??m2－2m≠0
知识点三 复数相等 5.若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________. 2??4－3a＝a，
解析：由4－3a－a2i＝a2＋4ai，a∈R，得?2解得a＝－4.
?－a＝4a，?
答案：－4
6．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值． 解析：因为(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
1???x＝2，?2x－y＋1＝0
所以?，解得?
?y－2＝0???y＝2，
1
所以实数x，y的值分别为，2.
2综合知识 复数的综合应用 7.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________． ???m－3≥0，?m≥3，
解析：依题意知?2解得?即m＝3.
??m－9＝0.m＝－3或3，??
答案：3 8．已知关于x的方程x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0(i为虚数单位)有实数根，求锐角θ和方程的实数根．
解析：设x0是方程x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0的实数根．
2则x20－(tan θ＋i)x0－(2＋i)＝0，即x0－tan θx0－2－(x0＋1)i＝0，
2???x0－tan θx0－2＝0?x0＝－1，所以?，解得?
?x0＋1＝0?tan θ＝1，??
π
又θ为锐角，所以θ＝.
4
基础达标
一、选择题
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ②－1没有平方根；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数． A．0 B．1 C．2 D．3
解析：一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部为零且虚部不为零，∴①错误；－1的平方根为±i，∴②错误；当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，∴③错误，故选A.
答案：A
2
2．在2＋7，i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
7
A．0 B．1 C．2 D．3
2
解析：纯虚数有i，(1－3)i两个，故选C.
7
答案：C
3．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( ) A．－3 B．3 C．－1 D．1
解析：复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，∴1＝－a，解得a＝－1，故选C.
答案：C
4．已知复数z＝m2＋m－2＋(m2＋4m－5)i是纯虚数，其中m为实数，则m＝( ) A．－2 B．1
C．－2或1 D．－5
2??m＋m－2＝0，
解析：由题意得?2解得m＝－2.故选A.
?m＋4m－5≠0，?
答案：A
5．集合{x∈C|x(x2－2x－3)(x2＋1)＝0}可化简为( ) A．{0，－1,3} B．{0，－1,3，±i} C．{－1,3，±i} D．{－1,3，i}
解析：在复数集中，由x(x2－2x－3)(x2＋1)＝0，得x＝0或x2－2x－3＝0或x2＋1＝0，解x2－2x－3＝0得x＝－1或x＝3，解x2＋1＝0，得x＝±i，∴集合{x∈C|x(x2－2x－3)(x2＋1)＝0}＝{0，－1,3，±i}，故选B.
答案：B
6．设a，b∈∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )