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解：棒的振动位移表达式?(t,x)?(Ancosknx?Bnsinknx)cos(?t??) 边界条件：?x?0?0；
???tx?l?0，
代入位移表达式解得：An?0； kn?于是可推出
2n?1?。 2lc(n?1,2,3,?)。 4lfn?(2n?1)若将自由端置于原点，固定端置于x?l处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。 2-13 长为l的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（F?Facos?t）。 （1）试求棒作纵振动时的位移表达式；
（2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为Km?解：棒纵振动位移的一般表达式为：??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)
ES。 l??x?0?0?A?0?满足边界条件：?FA??cos?t
?ES()?Fcos?t?B???x?lA??xESkcosklcos(?t??)?所以，???FAcos?tF??sinkl?cos(?t??)??sinkx
ESkcosklcos(?t??)ESkcoskl当频率较低或棒很短时，即kl??1时，coskl?1，sinkx?kx?kl 有???FFES?kl??l?F??? ESk?1ESlES。 l即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为
2-14 长为l的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为?0，试求以?0来表示的棒的基频位移。
解：设棒在x?0端钳定，x?l端自由，于是边界条件可写为：
??2??x2x?0?0，
???xx?0?0，
?0。
?3?x?l?0，
?x3x?l代入横振动方程
?(t,x)?[Ach????x?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(?t??) ????可得A??C，B??D，并有如下关系
A(ch????l?cosl)?B(sh?sinl)?0 ????A(sh设??????l?sinl)?B(ch?cosl)?0 ?????l，并用简正值（n=1,2,3,…）代表?的一系列根值。 ?sin?n?sh?n，cos?nsh?n??1
cos?n?ch?n? Bn?An?自由端基频位移振幅?0?A1Y1(l)
?A1[(ch?1?cos?1)?sin?1?sh?1(sh?1?sin?1)]
cos?1?ch?1?A12sin?1sh?1?2
cos?1?ch?1? A1??0(co?s1?ch?1)
2(sh?1sin?1?1)?基频位移?1(t,x)?A1Y1(x)cos(?1t??1)，
其中：Y1(x)?(ch?1lx?cos?1lx)?sin?1?sh?1??(sh1x?sin1x)
cos?1?ch?1llA1??0(cos?1?ch?1)。
2(sh?1sin?1?1)?0lx，试解棒作横振动的位
2-15 长为l的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移?t?0?移表达式。
????解：初始条件和边界条件为：?x?0?0（1）; ???0 (2)
?x??x?0??2???2??0 (3); ??x?x?l??3???3??0 (4) ??x?x?l?t?0??0????x (5); ???0 (6) l??t?t?0棒作横振动的总位移位为：
????Acosh?x ?(t,x)??把（1）、（2）代入（7）得
Bsin?hx??C???c?osxD?sixn???c tos7(） （???)A??C,B??D
????A(cosh?x则 ?(t,x)??把（5）、（6）代入（8）得
?co?sx?B)???(s?ixnhxsin???)t c（os( 8）????)?0??????A(coshx?cosx)?B(sinhx?sinx)cos??x???????l?
??A(coshx????cosx?B)????(si?nxh???sx?in?)?( sin??)0即 sin??即0??n?
?????x?cosx)?B(sinhx?sinx)?0x ????l?? ?(t,x)?0xco?s(?t?n )A(coshl2-16 长为l的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。 解：棒作横振动的位移方程为：
?(t,x)?[Achwwwwx?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(wt??) vvvv??2??3??0,3?0???x2x?0?xx?0由边界条件得：?2， 3??????0,3?02??xx?l??xx?l?A?C,B?D
wwww?A(chl?cosl)?B(shl?sinl)?0?vvvv?wwww?A(shl?sinl)?B(chl?cosl)?0vvvv? 要使方程有解，则
chwwwwl?coslshl?sinlvvvv=0 ?chwlcoswl?1 wwwwvvshl?sinlchl?coslvvvv2-17 长为l的棒两端钳定，求棒作横振动的振动频率方程. 解：由(2-2-57)式得棒的横振动一般表达式为
?(t,x)??Acosh??????x?Bsinhx?Ccosx?Dsin?????x?cos(wt??) ?其中???ck. 由棒两端钳定的边界条件得
???|x?0?0????|?0x?l??由(1)?A=－C B=－D
???x???x?0x?0(1)
?0x?l(2)????????由(2)?A?sinhl?sinl??B?coshl?cosl??0
????????????????A?coshl?cosl??B?sinhl?sinl??0
????????这是一个二元一次方程组，若A，B为非零解，则它们的系数行列式应等于零，即
????l?sinlcoshl?cosl?????0 ????coshl?coslsinhl?sinl????sinh由此可化得coshl?cosl?1，这是一频率方程，可用图解法求解。设?n?列根，此时简正频率fn??????l表示方程的一系?ck2?n. 2?l22-19 已知铝能承受最大张应力为P，密度为?，如果现在用这种材料制成厚度为h的膜，试求膜能承受的最大张力为多少？如果将其绷在半径为r的框架上，试问这种膜振动的基频最高能达到多少？
解：膜能承受的最大的张力T?Ph， 当半径为r时，膜的基频达最大，大小为
f1?2.405T2.405Ph2.405P ??2?r?2?r?h2?r?2-21 求解周界固定的矩形膜作自由振动时的简正频率以及简正振动方式，如果膜的边长为1：2，试计算最小四个泛频与基频的比值。
?2??2?1?2?解：膜的振动方程为：2?2?22 （*）
?x?yc?t设：?(x,y;t)??a(x,y)ej?t
??a(x,y)??a(x,y)?2代入方程（*）得：???2?a(x,y)
?x2?y2c2-23 设有一圆环形膜，其在外周r?a与内周r?b处固定，试证明该圆环膜自由振动的频率方程为
J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)?0
其中?y?ka，y?kb。
证明：圆环形膜的振动方程为：?(t,r)?R(r)ej?t 其中R(r)?AJ0(kr)?BJ0(kr)。
由外周r?a与内周r?b处固定得边界条件
?r?a?0，?r?b?0，