发布时间 : 星期日 文章§13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文更新完毕开始阅读9a80ad992b160b4e777fcfb6
§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导
定理13.13（逐项积分定理）若函数项级数?un(x)在[a, b]上一致收敛, 且每一项un(x)都连续, 则
??baun(x)dx??ba?u(x)dx.n(7)定理13.14（逐项求导定理）若函数项级数?un(x)在[a, b]上每一项都有连续的?(x)x0?[a,b]为?un(x)的收敛点, 且?un导函数，在[a,b]上一致收敛，dd则?dxun(x)?dx??un(x)?.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社(8)§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导
定理13.13 和13.14 指出, 在一致收敛条件下, 逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导. 注本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式(2)~(4), (6)~(8), 更重要的是根据定理的条件, 即使没有求出极限函数或和函数, 也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和
函数的解析性质.
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122例3 设un(x)?3ln(1?nx),n?1,2,?.n证明函数项级数?un(x)在[0,1]上一致收敛, 并讨
论和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证对每一个n, 易见un(x)为[0, 1]上的增函数, 故有
12un(x)?un(1)?3ln(1?n),n?1,2,?.n2又当t?1时,有不等式ln(1?t)?t,所以
1112un(x)?3ln(1?n)?3?n?2,n?1,2,?.nnn1收敛级数?2是?un(x)的优级数,因此级数
n?un(x)在[0,1]上一致收敛.
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由于每一个un(x)在[0,1]上连续, 根据定理13.12与定理13.13知?un(x)的和函数S(x)在[0,1]上连续且可积. 又由
2x2x1?(x)?un??,n?1,2,?,222n(1?nx)n?2nxn1?(x)在[0,1]?(x)的优级数,故?un即?2也是?unn上一致收敛. 由定理13.14, 得知S(x)在[0, 1]上可微.
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