发布时间 : 星期三 文章高考数学一轮复习专题46两条直线的位置关系教学案理更新完毕开始阅读9a56c0a3b8f3f90f76c66137ee06eff9aef8499d
专题46 两条直线的位置关系
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2．特别地，当直线
l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交
??A1x＋B1y＋C1＝0，
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组?的
?A2x＋B2y＋C2＝0?
解一一对应．
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解； 重合?方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）＋（y2－y1）． 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x＋y． (2)点到直线的距离公式
|Ax0＋By0＋C|
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 22
A＋B(3)两条平行线间的距离公式
|C1－C2|
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝22．
A＋B2
2
22 - 1 -
高频考点一 两条直线的平行与垂直
例1、(1)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( ) A．－1
B．2
C．0或－2 D．－1或2
(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________. 答案 (1)D (2)－2
【感悟提升】(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 【变式探究】已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2.
解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 当sin α≠0时，k1＝－
1
，k2＝－2sin α. sin α
12
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，即sin α＝±. sin α2π
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
4π
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
4
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sinα－1＝0，
2
- 2 -
所以sin α＝±
2π
.所以α＝kπ±，k∈Z. 24
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. π
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
4(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
【举一反三】(1)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( ) 13A. B. 22
13
C. D. 44
(2)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________.
3
解析 (1)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.
4
23
(2)由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以2a＋
ab6a6b?23?3b＝(2a＋3b)·?＋?＝13＋＋≥13＋2?ab?
ba6a6b·＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故
ba2a＋3b的最小值为25. 答案 (1)D (2)25
高频考点二 两条直线的交点与距离问题
1
例2、(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值
2范围是________．
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________________________________________________________________．
?11?答案 (1) ?－，? (2)x＋3y－5＝0或x＝－1 ?62?
y＝kx＋2k＋1，??
解析 (1)方法一 由方程组?1
y＝－x＋2，?2?
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2－4kx＝??2k＋1，解得?6k＋1
y＝??2k＋1.
1
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
2∴交点坐标为??2－4k，6k＋1?.
??2k＋12k＋1?
又∵交点位于第一象限， 2－4k??2k＋1＞0，∴?6k＋1??2k＋1＞0，
11解得－＜k＜.
62方法二 如图，已知直线
y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)．
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为
12
k的动直线．
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB. 11
∵kPA＝－，kPB＝.
6211
∴－＜k＜. 62
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