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高等几何习题解答
习题一
1．0设A，B为二定点，xy为定直线。于xy上任取P，Q，又AP与BQ交于L，AQ与BP交于M，求证：LM通过AB上一定点。
解：把直线xy射影为无穷远直线，则点P，Q，P2，Q2变为无穷远点PQ1?，P2?，1?，
?∥B?M?，A?L2?∥B?M2?，A?M1?∥B?L1?，A?M2?∥B?L2?，所以A?L1得两个平行四边形。Q2?，
?B?M1?中，L1?M1?，A?B?是对角线，交于S1，且S1是A?B?的中点。在 A?L2?B?M2?在 A?L1?M2?，A?B?是对角线，?≡S2?＝S?，中，L2交于点S1，且S1是A?B?的中点，∴S1从而，LM通过AB上一定点S。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标： （1）3x1?2x2?2x3?0 （2）2x2?3x3?0 （3）x3?0
答：（1）(3,?2,2)；（2）(0,2,?3)；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程
a?(3,?5,1) b?(0,1, 0 )c?(3?,1, 0)答：a:3?1?5?2??3?0 b:?2?0 c:3?1??2?0
1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：x?(1,4,1)，y?(2,0,1)，z?(1,?1,2) 答：x?y?(4,1,8),4x1?x2?8x3?0 y?z?(1,?3,?2),x1?3x2?2x3?0 z?x?(9,?1,?5),9x1?x2?5x3?0
1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：??(0,1,4),??(2,1,3),??(1,?1,0) 答：????(1,?8,2),?1?8?2?2?3?0 ????(1,1,?1),?1??2??3?0
????(4,4,?1),4?1?4?2??3?0
1.5 如果直线?,?,?,?的方程分别是：x1?x3?0,x2?x3?0,2x1?x2?x3?0,
x1?x2?x3?0,求直线(???)?(???)的方程和坐标。
答：(???)?(???)?(3,1,?4),方程为3x1?x2?4x3?0。
1.6 把笛卡尔三维空间里经过原点的直线作为“点”；把经过原点的平面作为“直线”，求证：这些“点”和“直线”的集合?可定义为射影平面。
证明：在笛卡尔三维空间里有下列事实：
(1) 经过原点的任意二不同的直线属于一个而且只属于一个经过原点的平面；
(2) 经过原点的任意不同的二平面相交于一条而且只相交于一条经过原点的直线。因
而集合?里的“点”和“直线”满足下列条件：
； (1) 任意而不同的“点”属于一条而且只属于一条“直线”。 (2)任意二不同的“直线”属于一个而且只属于一个“点”
而且，当经过原点的直线属于经过原点的平面时，可以看作?的“点”属于“直线”。
所以集合?可以定义为射影平面。
2.1 试证点a??(2,3,?2),b??(1,2,?4),c??(0,1,?6)是共线的，试求?和?，使得
a???b???c?,又求b和c的一个表示b??和c??,使得a??b???c??
答：??2,??1,b??(2,4,?8),c??(0,1,?6)
2.2 试求直线??(3,1,?2),??(1,5,?3),??(4,0,?2)共点。并求?和?的固定表示?和?，使?????
?答：??(??????3010202106,,?),??(?,?,) 7777772.3 写出下列命题的对偶命题
(1)直线上至少有三点。
(2)射影平面上至少存在四条直线，其中任何三条直线不共点。
(3)A、B、C、M为无任何三点共线的四个点，AM交BC于A0,MB交AC于B0,CM交AB于C0,连接A0B0,B0C0,C0A0得一个三点形。
答：(1)线束里至少有三条直线。
(2)射影平面上至少存在四个点，其中任何三点不共线。
(3)?、?、?、?为无任三线共点的四条直线，?和?的交点与?和?的交点的连结为?0，?和?的交点与?和?的交点的连线为?0，?和?的交点与?和?的交点的连线为?0，?0，?0，?0组成一个三线形。
2.4 写出下面作图题的对偶命题，并画出对偶图形（不必写做法）。
已知三点形的顶点a、b、c和不在三点形任何边上的任意一点x，并作三点形的每一顶点与点x的连线a?x，b?x，c?x。
图2
?，对偶命题：已知三线形的三边?，和不通过三线形任何顶点的任意一条直线?，?，
求作三线形的每一边与直线?的交点???，???，???。
对偶图形为右图。
2.5 已知三点形abc和点p，而p不在三点形的边上，令(a?p)?(b?c)?a?，
(b?p)?(c?a)?b?，(c?p)?(a?b)?c?，(b?c)?(b??c?)?a??，(c?a)?(c??a?)?b??，(a?b)?(a??b?)?c??，试证a??，b??，c??共线。
提示，对三点形abc和a?b?c?应用笛沙格定理。
3.1 在意直线上取点y?(5,?7,?1)，z?(1,?2,1)作为基础点，
u?(?1,1,1)作为单位点，建立射影坐标系，试求点x?(1,1,?5)的齐次和非齐次射影坐标。
?答：y?(?,1571242,)，z??(,?,)，(1,2)，
23333333.2 在一线束里取直线??(1,2,?3)，??(2,3,?6)为基础直线，取??(4,?1,?12)为单位直线，建立射影坐标系，试求??(0,1,0)的齐次和非齐次射影坐标。
答：(9,7)，
7 93.3 如果点(1,1,0)，(2,1,1)，(0,1,7)取作射影坐标系的参考三点形的顶点，(1,2,1)为
单位点，试求点(1,1,1)在这个坐标系里的齐次射影坐标和方程。
答：(9,?5,15)，9?1?5?2?15?3?0
3.4 试写出坐标三点形个边上任意点的坐标和方程；又写出通过各顶点的任意直线的的坐标和方程。
解：设?1上不同于d2,d3的任意点x
x??2d2??3d3?(0,?2,?3),?2,?3?0,方程为?2?2??3?3?0
?2上不同于d1,d3的任意点y，y?(?1,0,?3),?1,?3?0,方程为?1?1??3?3?0
设?3上不同于d1，d2的任意点z,z?(?1,?2,0),方程?1?1??2?2?0
?,?3?)，?x2??3?x3?0 设通过d1而不同于?2，则??(0,?2方程是?2?3的任意直线为?，?,0,?3?)，方程是(?1?x1??3?x3)?0 通过d2而不同于?1，?3的任意直线?，则??(?1?,?2?,0)，方程是?1?x1??2?x2?0 通过d3而不同于?1，?2的任意直线?，则??(?13.5 试证：如果a1，a2，a3，b是四个点，其中没有任何三点共线；而且
c1?(b?ai)?(aj?ak)，其中i，j，k取(1,2,3)(2,3,1)和(3,1,2)，则三个点
(ci?cj)?(ai?aj)共线（提示：选择ai?di，b?e）
证明：选择a1?d1，a2?d2，a3?d3，b?e 则
c1?(b?a1)?(a2?a3)?(e?d1)?(d2?d3)?(0,1,?1)?(1,0,0)?(0,1,1)
同理c2?(1,0,1)，c3?(1,1,0)。
又(c1?c2)?(a1?a2)?(1,1,?1)?(0,0,1)?(1,?1,0) 同理(c2?c3)?(a2?a3)?(0,1,?1) (c3?c1)?(a3?a1)?(?1,0,1)
1 (c1?c2)?(a1?a2),(c2?c3)?(a2?a3),(c3?c1)?(a3?a1)?0?1100?1?0 1?1所以(ci?cj)?(ai?aj)共线。