发布时间 : 星期六 文章高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：12.1 合情推理与演绎推理更新完毕开始阅读97e6f2f22bf90242a8956bec0975f46526d3a796
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径为r，则三角形面积为S△ABC＝2(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．
[审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．
解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个1
面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中
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的3，得V四面体A－BCD＝ 1
3(S1＋S2＋S3＋S4)r.
1
答案 V四面体A－BCD＝3(S1＋S2＋S3＋S4)r
(1)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．(2)
类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．
【训练2】 (2013·长沙模拟)已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，pp
得2yy′＝2p，则y′＝y，所以过P的切线的斜率k＝y.类比上述方法求出双
0
2y
曲线x2－2＝1在P(2，2)处的切线方程为________．
解析 将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2x2x0
2yy′＝4x，则y′＝y，即过P的切线的斜率k＝y，由于P(2，2)，故
0切线斜率k＝＝0.
答案 2x－y－2＝0
考向三 演绎推理
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＝2，因此切线方程为y－2＝2(x－2)，整理得2x－y－22
n＋2
【例3】?数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝nSn(n∈N*)．证明：
?Sn?
(1)数列?n?是等比数列；
??
(2)Sn＋1＝4an.
[审题视点] 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．(1)由等比数列的定义及Sn与an的关系证明；(2)由(1)可推得． n＋2
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝nSn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴
Sn＋1Sn
＝2·
n，(小前提) n＋1
1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
?Sn?
故?n?是以??
(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知
Sn＋1Sn－1
＝4·(n≥2)， n＋1n－1
Sn－1n－1＋2
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
n－1n－1＝4an(n≥2)，(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段
论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
2x－1
【训练3】 已知函数f(x)＝x(x∈R)．
2＋1(1)判定函数f(x)的奇偶性；
(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．
2－x－11－2x2x－1
解 (1)对任意x∈R有－x∈R，并且f(－x)＝－x＝＝－x＝－f(x)，
2＋11＋2x2＋1所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)在R上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈R，并且x1＞x2， 2x1－12x2－1
f(x1)－f(x2)＝－
2x1＋12x2＋1?2x1－1??2x2＋1?－?2x2－1??2x1＋1?＝
?2x1＋1??2x2＋1?2?2x1－2x2?＝. ?2x1＋1??2x2＋1?
∵x1＞x2，∴2x1＞2x2＞0，即2x1－2x2＞0. 又∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0， ∴
2?2x1－2x2?
＞0.
?2x1＋1??2x2＋1?
∴f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)在R上为单调递增函数．
对应学生189 方法优化20——活用归纳推理巧解题
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，合情推理重点考查归纳推理，主要以函数、数列、不等式等知识为背景，以选择题或填空题的形式进行命题，试题难度不大．
【真题探究】? (2012·陕西)观察下列不等式 131＋22<2， 1151＋22＋32<3， 11171＋22＋32＋42<4， …
照此规律，第五个不等式为________．
[教你审题] 根据已知的不等式归纳两边式子的特征，找出其规律性． [优美解法] 观察三个不等式发现：
第一个不等式左边为两式之和，且分母为两个连续整数的平方；右边为2×2－12；
第二个不等式左边为三式之和，且分母为三个连续整数的平方；右边为2×3－13；
第三个不等式左边为四式之和，且分母为四个连续整数的平方；右边为2×4－14； …
归纳推理知：第五个不等式为： 11111111＋22＋32＋42＋52＋62<6. [反思] (1)对有限的条件进行观察、分析，先把已知条件的形式整理成统一的形式．
(2)对有限的条件进行归纳、整理，一般的思路是先整体，后部分． (3)提出归纳推理的结论． 【试一试】 已知下列不等式： 1
x＋x≥2， 4
x＋2≥3， x27
x＋x3≥4， …
则第n个不等式为________．
解析 所给的不等式的左边的第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，