发布时间 : 星期六 文章2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)更新完毕开始阅读91cbe3169fc3d5bbfd0a79563c1ec5da51e2d6cf
梦想不会辜负每一个努力的人
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：垂线，垂足为N，点P满足（1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x=﹣3上，且过C的左焦点F．
【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （2）设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积?
=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l
=
．
+y2=1上，过M作x轴的
的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证． 【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0）， 设P（x，y），由点P满足可得（x﹣x0，y）=可得x﹣x0=0，y=即有x0=x，y0=
=
．
（0，y0）， y0，
，
梦想不会辜负每一个努力的人 代入椭圆方程
+y2=1，可得+=1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2； （2）证明：设Q（﹣3，m），P（?
=1，可得（
cosα，
cosα，
sinα），（0≤α＜2π）， cosα，m﹣
sinα）=1，
sinα）?（﹣3﹣msinα﹣2sin2α=1，
即为﹣3
cosα﹣2cos2α+
当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π， 解得m=即有Q（﹣3，椭圆由=3+3
?
，
），
+y2=1的左焦点F（﹣1，0）， =（﹣1﹣cosα﹣3（1+
cosα，﹣
sinα）?（﹣3，
）
cosα）=0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由
?
=1，
可得（m，n）?（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1， 又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2， 即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0）， ?
=（﹣1﹣m，﹣n）?（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0， 则
⊥
，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
梦想不会辜负每一个努力的人 （1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），从而可得结论；
（2）通过（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=
．
【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）， 则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣． 则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0． 因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0， 所以h（x）min=h（）， 又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0， 所以=1，解得a=1；
另解：因为f（1）=0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1）， 所以等价于f（x）在x=1处是极小值， 所以解得a=1；
（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣， 令t′（x）=0，解得：x=，
所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，
梦想不会辜负每一个努力的人 且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0， 所以f（x0）=
﹣x0﹣x0lnx0=
﹣x0+2x0﹣2）max=﹣
=x0﹣
，
由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣由f′（）＜0可知x0＜＜，
+=；
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减， 所以f（x0）＞f（）=
；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为（2，
），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|?|OP|=16列方程化简即可；
（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积． 【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y0），则∵|OM||OP|=16， ∴
=16，
，∴y0=
，