发布时间 : 星期日 文章2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练(七)平面向量更新完毕开始阅读912c0df13868011ca300a6c30c2259010202f3b1
3―→―→2
=12(t-3t+3),当t=时,|OA+tAB|取得最小值3.
2答案:3
1―→―→
6.如图,在△ABC中,AB=AC=3,cos∠BAC=,DC=2BD,则
3―→―→
AD·BC的值为________.
―→―→―→1―→―→―→―→―→
解析:由DC=2BD,得AD=(AC+2AB).又BC=AC-AB,
3
1―→―→1―→―→―→―→1
3,cos∠BAC=,所以AD·BC =(AC+2AB)·(AC-AB)=×(-9+3)=-2.
333
答案:-2
―→―→―→―→
7.(2019·扬州中学模拟)已知在等腰直角三角形ABC中,BA=BC=2,若AC=2CE,则BA·BE=________.
AB=AC=
解析: 如图,
―→―→―→―→―→BA·BE=BA·(BA+AE) ―→23―→―→=BA+BA·AC
2
3―→―→2
=2+|BA|·|AC|cos 135°
232??
=4+×2×22×?-?
2?2?=-2. 答案:-2
―→―→―→
8.将向量OA=(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB,则OB=____________.
―→―→―→―→―→―→―→―→22
解析:法一:OA=(1,1),设OB=(x,y),则|OB|=|OA|=1+1=2,OA·OB=|OA||OB―→―→
|×cos 60°=1,又由向量的坐标运算可知OA·OB=x+y=1,①
―→―→2222
|OA|=|OB|=x+y=2,化简得x+y=2,②
1-?x=?2
因为点B在第二象限,故x<0,所以解得?
1+y=??2―→?1-31+3?
故OB=?,?.
2??2
3
,3,
―→―→22
法二:因为|OB|=|OA|=1+1=2,直线OB的倾斜角为60°+45°=105°,故点B的横坐2-61-3―→―→
标xB=|OB|·cos(60°+45°)=2×=,纵坐标yB=|OB|·sin(60°+45°)=2
42×
2+61+3―→?1-31+3?
=,故OB=?,?. 422??2答案:?
?1-31+3?
,?
2??2
9.若向量a=(cos 15°,sin 15°),b=(cos 75°,sin 75°),则a+b与a的夹角为________. 解析:a+b=(cos 15°+cos 75°,sin 15°+sin 75°)=(cos 15°+sin 15°,sin 15°+cos 15°),则(a+b)·a=cos 15°(cos 15°+sin 15°)+sin 15°(cos 15°+sin 15°)=1+2cos 3
15°·sin 15°=1+sin 30°=,
2
|a+b|=
cos 15°+sin 15°
2
2
+sin 15°+cos 15°
2
=2sin 15°+cos 15°
=21+2sin 15°·cos 15°=3,
cos〈a+b,a〉=π答案:
6
a+b·a3π
==,又〈a+b,a〉∈[0,π],所以〈a+b,a〉=.
|a+b||a|63×12
3
2
10.(2019·江都中学模拟)如图,在平行四边形ABCD中,M是BC―→
且AD=DM,N是线段BD上的动点,过点N作AM的垂线,垂足为H,设HC―→―→―→
+λ2AD,则当AM·MN最小时,λ1+λ2的值为________.
的中点,―→=λ1AB
5答案:
4
11.如图,等边△ABC的边长为2,顶点B,C分别在x轴的非负半轴,―→―→
负半轴上移动,M为AB的中点,则OA·OM的最大值为________.
解析:设∠OBC=θ,因为BC=2,所以B(2cos θ,0),C(0,2sin θ),―→
(-2cos θ,2sin θ),设BA=(x,y),因为△ABC是边长为2的等边
??x+y=4,所以?
?-2xcos θ+2ysin θ=2,?
2
2
y轴的非
―→
则BC=三角形,
?x=3sin θ-cos θ,解得?
?y=3cos θ+sin θ,
―→
即BA=(3sin θ-cos θ,3
―→―→―→
cos θ+sin θ),则OA=OB+BA=(3sin θ+cos θ,3cos θ+sin θ),因为M为AB的中3331―→―→1―→―→―→3
点,所以OM=OB+BA=sin θ+cos θ,cos θ+sin θ,所以OA·OM=+3sin 2θ22222213331553212
++sin 2θ+cosθ=sin 2θ+cos 2θ+=7sin(2θ+φ)+其中cos φ=,sin φ22222214=
75―→―→
,所以OA·OM的最大值为+7. 1425
答案:+7
2
―→―→―→
12.已知△ABC的三个内角为A,B,C,重心为G,若2sin A·GA+3sin B·GB+3sin C·GC=0,则cos B=________.
解析:设a,b,c分别为角A,B,C所对的边, ―→―→―→
由正弦定理得2a·GA+3b·GB+3c·GC=0, ―→―→―→―→―→
则2a·GA+3b·GB=-3c·GC=-3c(-GA-GB), ―→―→
即(2a-3c)GA+(3b-3c)GB=0.
?2a-3c=0,―→―→
又GA,GB不共线,所以?
?3b-3c=0,
由此得2a=3b=3c,所以a=
33
b,c=b, 23
a2+c2-b21
于是由余弦定理得cos B==.
2ac12
1
答案: 12
13.已知平面向量α,β满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则|α|的取值范围为________.
―→―→―→
解析:法一:由|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,作向量OA=α,AB=β-α,则OB
=β,在△OAB中,∠OAB=60°,OB=1,则由正弦定理23?23?
sin∠ABO∈?0,?,即0<|α|≤3.
3??
OBsin 60°=OAsin ∠ABO,得OA=233法二:设|α|=u,|β-α|=v,由|β|=|α+(β-α)|=α+2α·(β-α)+(β-α),得
2222
v2-uv+u2-1=0,再由关于v的一元二次方程有解,得u2-4(u2-1)≥0,又u>0,故0
23
0<|α|≤.
3
23
,即3
?23?答案:?0,?
3??
―→2
14.在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式CD≥(m-―→―→―→―→―→―→
2)OC·OD+m(OC·OB)·(OD·OA)对任意实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是________.
解析:原不等式可化为(a-c)+(b-d)≥(m-2)·(ac+bd)+mbc,即a+b+c+d-m(ac+bd+
2
2
2
2
2
2
bc)≥0,整理成关于实数a的不等式为a2-mca+b2+c2+d2-mbd-mbc≥0恒成立,从而Δ1=m2c2-4(b2
12222222
+c+d-mbd-mbc)≤0,再整理成关于实数d的不等式为d-mbd+b+c-mbc-mc≥0,从而Δ2=
4
22??22
m2b2-4?b+c-mbc-mc?≤0,再整理成关于实数b的不等式为(4-m2)b2-4mcb+4c2-m2c2≥0,从而
?
14
?
??4-m>0,?22
?Δ3=16mc-4?
2
4-m2
4c-mc222
≤0,
解得1-5≤m≤-1+5,所以m的最大值是5-1.
答案:5-1