发布时间 : 星期六 文章2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)更新完毕开始阅读9046d0fba22d7375a417866fb84ae45c3a35c265
又∵PAAE?A，PA?平面PAE，PE?平面PAE，
∴BC?平面PAE， ∴BC?PE．
（2）由（1）得AE?BC，由BC∥AD可得AE?AD． 又∵PA?底面ABCD，∴PA?AE，PA?AD．
∴以A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A?xyz，如图所示，则A(0,0,0)，E(3,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，B(3,?1,0)，C(3,1,0)，F(0,1,1)．
∵PA?平面ABCD，
∴平面ABCD的法向量为AP?(0,0,2)． 又∵AC?(3,1,0)，AF?(0,1,1)． 设平面ACF的一个法向量n?(x,y,z)，则：
???AC?n?0，即??3x?y?0，令x?1，则y??3，z?3， ???AF?n?0??y+z?0∴n?(1,?3,3)． ∴cosAP,n?AP?n|AP||n|?217． ∵二面角F?AC?D是锐角， ∴二面角F?AC?D的余弦值为217． （3）G是线段AB上的一点，设AG?tAB(0≤t≤1)． ∵AB?(3,?1,0)，∴G(3t,?t,0)． 又∵PC?(3,1,?2)，PG?(3t,?t,?2)． 设平面PCG的一个法向量为n?(x,y,z)，则：
???PC?n1?0，即???3x1+y1?2z1?0，∴n1?(t+1,3(t?1),3t)， ??PG?n1?0??3tx1?ty1?2z1?0∵AF∥平面PCG，∴AF?n，AF?n?0，即3(t?1)+3t?0， 解得t?12． 故线段AB上存在一点G，使得AF平行于平面PCG，G是AB中点．
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14.（1）证明：∵DE?平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴DE?AC． ∵ABCD是正方形， ∴AC?BD． 又DEBD?D，
∴AC?平面BDE．
（2）∵DA，DC，DE两两重叠，∴建立空间直角坐标系D?xyz如图所示．
zE
FAxDC yB∵BE与平面ABCD所成角为60?，即?DBE?60?， ∴
ED?3． DB由AD?3，可知DZ?316，AF?6，则A(3,0,0)，F(3,0,6)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．
∴BF?(0,?3,6)，EF?(3,0,?26)， 设平面BEF的法向量为n?(x,y,z)，则
???n?BF?0??3y?6z?0，即?，令z?6，则n?(4,2,6)． ?n?EF?0????3x?26z?0∵AC?平面BDE，
∴CA为平面BDE的一个法向量，CA?(3,?3,0)， ∴cosn,CA?n?CA613??．
|n||CA|32?2613∵二面角F?BE?D为锐角， ∴二面角F?BE?D的余弦值为13． 13（3）点M线段BD上一个动点，设M(t,t,0)，则AM?(t?3,t,0)．
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∵AM∥平面BEF，∴AM?n?0，即4(t?3)?2t?0，解得t?2，
1此时，点M坐标为(2,2,0)，BM?BD，符合题意．
3 15.
zCDAMPx（1）证明：∵PA?平面ABC，BC?平面ABC， ∴PA?BC．
∵BC?AB，PAAB?A， ∴BC?平面PAB． 又AM?平面PAB， ∴AM?BC．
∵PA?AB，M为PB的中点， ∴AM?PB． 又∵PB
B yBC?B，
∴AM?平面PBC．
（2）如图，在平面ABC内作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两垂直，建立空间直角坐标系A?xyz．则A(0,0,0)，P(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，M(1,1,0)． AP?(2,0,0)，AC?(0,2,1)，AM?(1,1,0)．
设平面APC的法向量为n?(x,y,z)，则：
??x?0?n?AP?0，即?，令y?1，则z??2． ?2y?z?0???n?AC?0∴n?(0,1,?2)．
由（1）可知AM?(1,1,0)为平面PBC的一个法向量，
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∴cosn?AM?AM?n110??．
|AM||n|5?210∵二面角A?PC?B为锐角， ∴二面角A?PC?B的余弦值为10． 10（3）证明：设D(?,v,w)是线段PC上一点，且PD??PC，(0≤?≤1)， 即(??2,v,w)??(?2,2,1)， ∴??2?2?，v?2?，w??． ∴BD?(2?2?,2??2,?)．
4由BD?AC?0，得???[0,1]，
5∴线段PC上存在点D，使得BD?AC，此时
16.解：（1）证明：因为AB?平面PAD，所以PH?AB， 因为AD?3,PD4???． PC5AH?2，所以AH?2,HD?1， HD设PH?x，由余弦定可得，
x2?HD2?PH2x2?1x2?HA2?PH2x2?1cos?PHD??? cos?PHA?
2x?HD2x2x?HA4x因为cos?PHD??cos?PHA，故PH?x?1， 所以PH?AD，因为ADAB?A，故PH?平面ABCD.
（2）以H为原点，以HA,HP,HP所在的直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,3,0),P(0,0,1),E(1,,),F(?1,,0),C(?1,,0)，
所以可得，BF?(?3,?,0),BE?(?1,?,),EF?(?2,0,),FC?(0,3,0)， 设平面BEF的法向量n?(x,y,z)，
31223292323122123??3x?y?0???BF?n?0?2???n?(?1,2,4)， 则有：?3z??BE?n?0??x?y??0??22设平面EFC的法向量m?(x,y,z)，
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