发布时间 : 星期三 文章上海市黄浦区2015届高三数学4月二模考试试题 文更新完毕开始阅读8fc45634bb4cf7ec4bfed0ed
当30?x?40时，
95669536103610 y?76x?x2??(x?)2?，当且仅当x?时，等号成立． ?3553333610． 395cm，然后过点M作DE的垂线交BA于点P，再过点P作DE答：先在DE上截取线段DM?33610cm2． 的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为3 因此，y的最大值为
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分． （理科）
解(1) ? 对任意m、p?N*都有am?p?am?ap成立，
∴令m?n,p?1，得an?1?a1?an,n?N*．
1?a?,?1*∴数列?an?(n?N)的递推公式是? 2?a?a?a, n?N*.?n?11n(2)由(1)可知，数列?an?(n?N)是首项和公比都为
*11*的等比数列，于是an?n(n?N)． 22bbb1b?22?33????(?1)n?1nn(n?N*)，得 2?12?12?12?1bb?1bban?1?1?22?33????(?1)nn?n(n?2)．
2?12?12?121?1bnn?1n1?b?(?1)(n?1)(n?2)． 故an?an?1?(?1)nn2?12b3当n?1时，a1?1?b1?．
2?12由an??3， (n?1)??2所以bn??
1?(?1)n(?1). (n?2,n?N*)??2n (3) ∵cn?2n??bn，
1?1)?， 2n1n?1n?1 cn?1?2?(?1)(n?1?1)?，
2∴当n?3时，cn?2?(?1)(nn依据题意，有cn?cn?1?2n?12n?13n?(?1)?(2?n)?0，即(?1)???．
32?2n2nn?1n?110 当n为大于或等于4的偶数时，有???2 恒成立，又2 随n增大而增大，则
3?22n3?22n??n?1128?2?128????，故的取值范围为； (n?4)?3??3535?n?2??2?minn?13222 当n为大于或等于3的奇数时，有??恒成立，故?的取值范围为??；
193?22n05330 当n?2时，由c2?c1?(22??)?(2??)?0，得??8．
4212832??? 综上可得，所求?的取值范围是?． 3519（文科）
解(1) ? 对任意m、p?N*都有am?p?am?ap成立，a1?2，
∴令m?n,p?1，得an?1?a1?an,n?N*． ∴数列?an?(n?N)是首项和公比都为2的等比数列．
*∴an?a1?2n?1?2n(n?N*)． (2) 由an?bbb1b+22?33???nn(n?N*)，得 2?12?12?12?1bb?1bban?1?1+22?33???n?n(n?2)． 12?12?12?12?1bn?1n2n?1?2n?1(n?2)． 故an?an?1?nn?bn?2(2?1)?22?1b当n?1时，a1?1?b1?6．
2?1于是，bn?? (n?1)?6，?22n?1?2. (n?2,n?N)n?1*
当n?1时，B1?b1?6； 当n?2时，
Bn?b1?b2?b3???bn =6+(22?2?1+22?3?1+22?4?1+?+22?n?1)+(22?1+23?1+24?1+?+2n?1)23(1?4n?1)2(1?2n?1) =6+?1?41?224 =?4n?2n?.332114又n?1时，Bn??4?2??6，
332n4n* 综上，有Bn??4?2?，n?N.
33B1Bn?3， (3)?cn?n，c1?1222n41* ∴cn??2??n?1，n?N．
3322n41241?2??n?1?(?n?12??n?1?1)332332
2n?11 =(2?n?1)?0(n?2).32?cn?cn?1? ∴数列?cn?(n?N)是单调递增数列，即数列?cn?中数值最小的项是c1，其值为3．
*
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
解(1)依据题意，动点P(x,y)满足(x?2)?y?(x?2)?y?4.
又|F1F2|?22?4，
2222??2a?4,?b?2． 因此，动点P(x,y)的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且???2c?22x2y2??1． 所以，所求曲线C的轨迹方程是42?????????????????????????????C(2) 设M(x0,y0)是曲线上任一点．依据题意，可得MG?MN?NG,MH?MN?NH．
?GH是直径，
??????????????NH??NG．又|NG|=1，
?????????????????????????????MG?MH=(MN?NG)?(MN?GH)?????????????????? =(MN?NG)?(MN?NG)
????????? =|MN|2?|NG|2.?????2 ?|MN|?(x0?3)2?(y0?0)2
＝
1(x0?6)2?7． 2x2y2 由??1，可得?2?x?2，即?2?x0?2．
42???2?? ?1?M|N|?，205?????2????2?M|N?|N|G．? |24???????????????????? ?MG?M的取值范围是H0?MG?MH?24．
?????2(另解1?|MN|?25：结合椭圆和圆的位置关系，有||OM|?|ON||?|MN|?|OM|?|ON|(当
且仅当M、N、O共线时，等号成立)，于是有1?|MN|?5．)
（理科）
(3)证明 因A、B是曲线C上满足OA?OB的两个动点，由曲线C关于原点对称，可知直线AB也关于原点对称．若直线AB与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB的距离(d)是定值即可．
设|OA|?r1,|OB|?r2，点A(r1cos?,r1sin?)，则 B(r2cos?(?r2?2),?s?in?(?r2?2?))r2(?．s in,cos)2211rr21． 21 利用面积相等，有|OA|?|OB|?|AB|?d，于是d??2211r12?r22?r12r12?cos2?sin2?1?r12cos2?r12sin2??4?2?r2,??1,?142 又A、B两点在曲线C上，故? 可得? ??222222?sin??cos??1.?r2sin??r2cos??1.??2r22?42?4 因此，1?1?3．
r12r224 所以，d?2423，即d为定值． 3322所以，直线AB总与定圆相切，且定圆的方程为：x?y?（文科）
4． 3 (3)证明 设原点到直线AB的距离为d，且A、B是曲线C上满足OA?OB的两个动点．
11ab2310若点A在坐标轴上，则点B也在坐标轴上，有|OA||OB|?|AB|?d，即d?． ?22223a?b
20若点A(xA,yA)不在坐标轴上，可设OA:y?kx,OB:y??1x． k4?2?x2y2x?,A2???1,??1?2k 由?4 得? 22?y?kx.?y2?4k.?A?1?2k2??24k2x?,设点B(xB,yB)，同理可得，??B2?k2
??y2?4.B?2?k2?22223(1?k)1?k1?k22于是，|OA|?2，， ． |AB|?OA?OB?|OB|?222221?2k2?k(2?k)(1?2k)利用
1123|OA||OB|?|AB|?d，得d?． 223002可知，总有d?综合1和2323，即原点O到直线AB的距离为定值． 33(方法二：根据曲线C关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA?OB，求出A、B的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)