发布时间 : 星期一 文章复变函数与积分变换复习题更新完毕开始阅读8f60bc325a8102d276a22f02
复变函数与积分变换复习题
1， 将下列复数化为三角形式与指数形式
1)z??12?2i;2)z?sin?3?icos?3;
3）z?1?icot?,????2?. 4）z?1?cos??isin?,0????.
(cos5??isin5?)25）z? 3(cos3??isin3?)2， 求下列函数的辐角 1)z??1?i32?i;2z)?223;3)(?1?i3)(c?o?si?sin) (1?i)(cos??isin?)3）求下列复数的模
1)z?(?1?i3)(cos??isin?)(1?3i)(3?4i);2) (1?i)(cos??isin?)?2?i34）求41?i；6?1 5）设n为正整数，证明下式成立
?1?i33n?1?1?i33n?1()?()??1.(226）证明函数f(z)?1?i4n?11?i4n?1)?()?? 22Re(z)当z?0时极限不存在； zz当z?0时极限不存在； z1zz(?)当z?0时极限不存在； 2izz7）证明函数f(z)?8）证明函数f(z)??[Re(z2)]2,z?0?29)证明函数f(z)??在z=0点连续。 z??0,z?0?x3y(y?ix),z?0?42f(z)?10)证明函数在z=0点连续。 ?x?y?0,z?0?11）判断f(z)?x?2yi是否可导。
12）判断函数的解析性
1）??z;2）??zRe(z)；
13）证明函数f(z)?Rez?Imz在z=0处满足C-R方程，但是不可导。（P33） 14）已知调和函数u(x,y)?x2?y2?xy，求一解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y) 使得f(0)?0，并求出
df(z). dz15）验证以下函数为调和函数，并求出以z?x?iy为自变量的解析函数w?f(z)?u?iv.
1)u(x,y)?(x?y)(x2?4xy?y2)
2）P74 例题3.4.2 例题3.4.3 16)解方程sinz?ish1.
17）求Ln(?i),Ln(?3?4i)和它们的主值。 18）求12,ii,3i,(1?i)i的值。 19）解方程lnz?2?i20）计算
?6
?czdz.
（1）C：??i????i的直线段;
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周. 21）计算积分
dz(n?Z).n??(z?z)0CC:z?z0?r?0.
22）计算积分
dz,??zCdz,??zC??Cdzz,C:z?1.
23）计算积分
1dz,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线. 2??z?zCez24）计算积分?dz,其中C:z?1,a为a?1的任何复数. 3?(z?a)C25）计算积分
3z?2dz,其中C:z?(1?i)?2. 4??z?1Cez26）计算积分?dz,其中C:z?r(r?1,2). ?z(z?1)(z?2)C27）计算积分
zdz,其中C:z?2. 2??(9?z)(z?i)Ccoszdz,其中C:z?2. 5??(z?1)C28）计算积分
ez29）计算积分?dz,其中C:z?r?1. 22?(z?1)C30）计算积分
sin5zdz,其中C:z?4. 32??z(z?1)C31）判断下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限。
1i?)n?;n?ncinos ?n?(1?en.32）下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
n?n?1ii?(8i)?(1)i ?(1?e)n?;;[?n ]?nn2n?1nn?0n?n?1?33）求下列幂级数的收敛半径
zn?(z?1n)? ?3;?;?(coinszn )nn?1nn?1n?0?34）把函数
1展成z的幂级数.
(1?z)31展成z的幂级数,1 1展成z-1幂级数,0 1展成z-2幂级数,1 z2?2z?5展成z的幂级数,1 (z-1)(z-2) 38）把函数 39）把函数ze在0 13z1ln(1?)dz. ??z?2z41）求积分 ??z?z0?1e1z?z0(z?z0)?3dz. 42）求积分 ze??z?21?zdz. 1z43）求下列各函数在孤立奇点（不考虑无穷远点）的留数 z2n1?e2z1;4; n1?zzsinz44）计算积分 ??z?12sinzdz. 2zz(1?e)zdz. (z?2)2(z?1)45）计算积分 ??1z?2?2122??C1?z4dz.C:x?y?2x. sinz3dz.C:z?. 47）计算积分??Cz246）计算积分 3z3?248）计算积分??C(z?1)(z2?9)dz.C:z?4. 49）计算积分 ??Czdz.C正向曲线:z?2. z4?150）计算积分 1??C(z+i)10(z?1)5(z?4)dz.C正向曲线:z?5. 2?51）计算积分 ?02?sin2?d?.(a?b?0). a?bcos?52）计算积分 cos2?d?.(0?p?1). 2?1?2pcos??p0?计算积分 cos2?d?.(a2?1). 2?1?2acos??a0??53）计算积分 ?01dx.(n?0,1,2,?). 2n?1(1?x)x254）计算积分?2dx.(a?0,b?0). 222(x?a)(x?b)??????55）计算积分 cosaxdx.(a?0). 2?x?1????56）计算积分 ?0??xsinxdx.(a?0). 22x?a(x2?1)cosax57）计算积分?dx. 42x?x?1?? |z|?1?f(z)dz?2πi?Res[f(z),z]kk?1n