发布时间 : 星期日 文章高等数学-上海交通大学出版社-第三版-习题10解答更新完毕开始阅读8f5093ef0d22590102020740be1e650e52eacf2d
?Lxdx?ydy?(x?y?1)dz??(t?1?4t?2?9t?3)dt?13．
01所属章节：第十章第二节 难度：一级
9．一力场由沿横轴正方向的常力F所构成。试求当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=a2(a>0)按逆时针方向移过位于第一象限那一段圆弧时场力所作的功
?解答：?Fdx??2Fdacost??Fa．
L0所属章节：第十章第二节 难度：一级
10．设有力场的力，其大小与作用点到Oz轴的距离成反比(比例系数为k)，方向垂直且朝着
?x?cost?Oz轴，试求当一质点沿圆周?y?1从点(1，1，0)到点(0，1，1)时力所作的功．
?z?sint?注：本题已改动，否则点不在圆周上． 解答:由题目可知F=?x?costkxy?(,,0).当一质点沿圆周?y?1从点(1，1，0)
x2?y2x2?y2x2?y2?z?sint?到点(0，1，1)时，y为常数，dy?0，此时力所作的功为：
?kx2?y2L?xx2?y2?dx??200ktkcost1120dcost??dt??kln(1?t)?kln2． 122?11?cost1?t22所属章节：第十章第二节
难度：三级
11．把对坐标的曲线积分?P(x,y)dx?Q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分，其中C为：
C(1) 在xOy平面内沿直线y=x从点(0，0)到点(1，1)； (2) 在xOy平面内沿抛物线y=x2从点(0，0)到点(1，1)；
解答：(1)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??F?nds，n为y=x的单位法向量，n?(CC22,)， 22?CP(x,y)dx?Q(x,y)dy??F?nds??CC1(P(x,y)?Q(x,y))ds； 2(2)n为y?x2的单位法向量，n?(11?4x2,2x1?4x2)，
87
?CP(x,y)dx?Q(x,y)dy??F?nds??CP(x,y)?2xQ(x,y)1?4x2Cds．
所属章节：第十章第二节 难度：二级
?x?t?12．设L为曲线?y?t2上相应于t从0到1的曲线段，试把对坐标的曲线积分?Pdx?Qdy?RdzL?z?t3?化成对弧长的曲线积分
?x?t?解答：n为曲线L?y?t2的单位法向量，
?z?t3?n?(11?4t?9t24,2t1?4t?9t24,3t21?4t?9t24)?(11?4x?9y22,2x1?4x?9y22,3y1?4x?9y22),?LPdx?Qdy?Rdz??F?nds??LP?2xQ?3yR1?4x?9y22LdS．
所属章节：第十章第二节 难度：二级
13．设闭曲线C为正向圆周x2+y2=4，试就函数P=2x–y，Q=x+3y验证格林公式的正确性 解答：格林公式?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???(CD?Q?P?)dxdy， ?x?y2?0由于?(2x-y)dx?(x?3y)dy?2?(4cos??2sin?)dcos??2?(2cos??6sin?)dsin?
C02??2?(2?10sin?cos?)d??8?，
02???(D?Q?P?)dxdy???2dxdy?8?， ?x?yD所以格林公式正确．
所属章节：第十章第三节 难度：一级
14．试利用格林公式计算下列曲线积分：
?13?2(1)?(xy?2y)dx?x?x??dy，其中C以x=1、y=x及y=2x为边的三角形正向边界； ?C?3?22222
(2)??xydy?xydx，C为正向圆周x+y=a；
C 88
(注：本题已改动，否则结果为0)
x2y2(3) ??C(x?y)dx?(x?y)dy，C为椭圆周a2?b2?1，取正向
111?13?2解答：(1)?，D为C所围区域； (xy?2y)dx?x?xdy?dxdy??1?2??1?1????C??222?3?D22223(2)?xydy?xydx?(x?y)dxdy?d???????d??CD002?a14πa，D为C所围区域； 2(3)
??(x?y)dx?(x?y)dy??2??dxdy??2?ab，D为C所围区域．
CD所属章节：第十章第三节
难度：一级
15．利用曲线积分，求下列曲线所围图形的面积：
3??x?acost(1) 星形线?； 3??y?asint(2) 椭圆9x2+16y2=144；
(3) 圆x2+y2=2ax
2?1122?32?23233332xdy?ydx?a{costdsint?sintdcost}?sintcostdt??a； 解答：(1)?????C0002228?x?4cost(2) 椭圆9x2+16y2=144化为参数方程?,
?y?3sint2?2?2?1?Cxdy?ydx?6{?0costdsint??0sintdcost}?6?0dt?12?； 2??x?acost?a(3) 圆x2+y2=2ax化为参数方程?,
?y?asint2?1a2?a2xdy?ydx?{?(acost?a)dsint??asintd(acost?a)}???C02202?2?0(1?cost)dt??a2．
所属章节：第十章第三节
难度：二级
16．验证下列曲线积分在xOy平面内与路径无关，并计算它们的积分值： (1)?(2,2)(1,1)(3,4)(x?y)dx?(x?y)dy；
(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy； (2xy?y4?1)dx?(x2?4xy3)dy
(2)?(3)
(1,2)?(1,2)(0,0) 89
解答：(1)因为
?Q?P则曲线积分在xOy平面内与路径无关，此时可选取y?x,x?[1,2], ??1，
?x?y21?(2,2)(1,1)(x?y)dx?(x?y)dy??2xdx?3；
?Q?P??12xy?3y2，则曲线积分在xOy平面内与路径无关，此时可选取?x?y(2)因为
y?x?1,x?[1,2 ],?(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy??{6x(x?1)2?(x?1)3?6x2(x?1)?3x(x?1)2}dx
122??(x?1){6x2?3x(x?1)?(x?1)2}dx?236;
1(3)因为
?Q?P??2x?4y3，则曲线积分在xOy平面内与路径无关，此时选取y?2x,x?[0,1], ?x?y10?(1,2)(0,0)(2xy?y4?1)dx?(x2?4xy3)dy??{4x2?16x4?1?2x2?64x4}dx??15．
所属章节：第十章第四节 难度：二级
17．利用格林公式计算下列曲线积分：
(1)??(2x?y?4)dx?(3x?5y?6)dy，其中C为三顶点分别为(0，0)，(3，0)，(3，2)三角形正
C向边界；
?x3??x?t?sint(xy?3xe)dx??ysinydy(2) ?从点(0，0)到点(π，2)的??，其中C是沿摆线?C3y?1?cost???2x一段弧；
(3)?(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy，其中C为上半圆周x2?y2?ax，取逆时针方向．
C注：本小题已加了条件． 解答：
(1)??(2x?y?4)dx?(3x?5y?6)dy???4dxdy?12，D为C所围区域；
CD?x3?(2) ?(xy?3xe)dx???ysiny?dy
C?3?2x?x3??x3?2x??(xy?3xe)dx??ysinydy?(xy?3xe)dx??ysinydy， ?????C?C1?C1?3??3?2x其中C1:x??2y,y?[0,2]方向从点(π，2)到点(0，0)，由格林公式前一积分为零，故
90