发布时间 : 星期日 文章沪科版九年级数学上册【教案】 二次函数表达式的确定【新版】更新完毕开始阅读8dfbcf71b8f3f90f76c66137ee06eff9aff849ce
21.2.6
教学目标 【知识与技能】
二次函数表达式的确定
使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法;使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法.
【过程与方法】
体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力. 【情感、态度与价值观】
让学生体验二次函数的关系式的应用,提高学生对数学重要性的意识. 重点难点 【重点】
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的关系式. 【难点】
已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式. 教学过程 一、问题引入
1.一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?
(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.)
2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式? 本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式.(板书) 二、新课教授
问题1.如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的表达式吗?如果能,求出这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得到关于a、b、c的三元一次方程组
解这个方程组,得: a=2,b=-3,c=5.
所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
问题2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.
分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x-h)2+k的形式称为顶点式,(h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可. 三、典型例题
【例1】 有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得
解方程组,得 .
答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.
【例2】 已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.
解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得
所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到:
解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5. 【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点. (1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线; (2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积. 解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.
(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0). 解方程组
得B、C两点的坐标分别为B(2,2)、C(7,4.5). 过B、C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为B1、C1,则 S△ABC=--
=(BB1+CC1)B1C1-AB1·BB1-AC1·CC1 =(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5 =7.5.
小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函数的顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大. 四、巩固练习
1.已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=3,求二次函数的关系式.
【答案】解法一:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c=3.又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以得到:解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1. 因为二次函数的图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1,解得a=,所以,所求二次函数的关系式为y=(x+3)2-1,即y=x2+x+3.
2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数的关系式.
【答案】依题意,得 解得:p=-10,q=23,
所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23. 五、课堂小结
1.求二次函数的关系式,常见的有几种类型?
两种类型:
(1)一般式:y=ax2+bx+c;
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k). 2.如何确定二次函数的关系式?
让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需要三个已知条件.在具体解题时,应根据具体的已知条件灵活选用合适的形式,运用待定系数法求解. 教学反思
本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
要根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,激发学生的学习欲望.本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生探索、归纳,得到新知.