发布时间 : 星期一 文章三角形的五线与五心更新完毕开始阅读8da2d8b969dc5022aaea0064
三角形的五线与五心
重心 三角形三条中线的交点 三角形只有一个重心 性质：1、重心把任意一条中线分为2:1两部分
2、三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等 3、三角形的重心也是它的中点三角形的重心
内心 三角形三条角平分线的交点 三角形只有一个内心 性质：1、内心到三边距离相等
2、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三
角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。 三角形有且只有一个内切圆
3、设I为△ABC的内心，则∠BIC与∠A的关系是_________ 4、直角三角形内切圆半径公式：__________________
5、三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的
距离相等；反之，若I为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心
6、设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆半径为r，令p表示
半周长，则S△ABC=pr
外心 三角形三边中垂线的交点 三角形只有一个外心 性质：1、到三顶点距离相等
2、过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外
心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 三角形有且只有一个外接圆。
3、三角形的外心是它的中点三角形的垂心
旁心 三角形两个外角平分线与第三内角平分线交点 三角形有3个旁心 通常在三角形外
性质：旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等 设P为△ABC的旁心，则∠BPC与∠A的关系是_______ 垂心 三角形三条高的交点 三角形只有一个垂心
性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。
1、已知钝角三角形ABC，角B为钝角，用尺规分别作出BC边上的高、中线；BC边的垂直平分线；角平分线AD；
2、平面上有三条公路，两两相交于点A、B、C，则到A、B、C三点距离相等的点有__个；到三条公路距离相等的点有___个。
3、在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，△ABC的面积为 4、已知三角形内的一个点到它的三边距离相等，那么这个点是（ ）
A、三角形的外心 B、三角形的重心 C、三角形的内心 D、垂心
5、如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ）
A．40° B．55° C．65° D．70°
图1 图2 图3
6．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE=（ ） A．70° B．110° C．120° D．130° 7．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（ ） A．112.5° B．112° C．125° D．55° 8．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部 C．等边三角形的内心，外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ） A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5 10、如图，△ABC中，∠A=m°． （1）如图（1），当O是△ABC的内心时，∠BOC的度数为______； （2）如图（2），当O是△ABC的外心时，∠BOC的度数为______；
（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，∠BOC的度数为______．
11、如图，已知正三角形ABC的边长为2a．
（1）它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积为______；
（2）根据计算结果，想求圆环的面积，?只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环
1
的面积：_______________________
（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？
12、顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm，则它的外接圆的直径____cm 13、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( ) A 60° B 50° C 40° D 30°
y P
A
B AOO O x
BCA (第15题)
B
C
（16题图） 14、（2011四川）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为 A．1 B．3 C．2 D．23 15、（2011南京)如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°． 16、（2011烟台）如图，△ABC的外心坐标是__________. 17、如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，?如果AF=2，BD=7，CE=4． （1）求△ABC的三边长；
（2）如果P为弧DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB于
M，交BC于N，求△BMN的周长．
18、阅读材料：如图（1），△ABC的周长为p，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积． ∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA 又∵S1△OAB =2AB·r，S1△OBC =
2BC·r，S1△OCA =2AC·r
∴S1△ABC =
2AB·r+12BC·r+
12CA·r
=12p·r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）?且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，?an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
19、数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹） 20、（2011台州）如图1，过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定?A?DE:BE。特别的，当点D、E重合时，规定?A?0。另外对?B、?c也作类似的规定。 （1）如图2，已知在Rt△ABC中，
∠A=30o，求?A、?c；
（2）在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且?A?2，面积也为2；
（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打√，假命题打×） ① 若△ABC中，?A?1，则△ABC为锐角三角形；（ ） ② 若△ABC中，?A?1，则△ABC为直角三角形；（ ） ③ 若△ABC中，?A?1，则△ABC为钝角三角形；（ ）
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