发布时间 : 星期五 文章导数习题分类精选 - 2更新完毕开始阅读8d6cdcf0af45b307e87197d3
导数习题分类精选 2
?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?
设h?x??x2?(2x2?2x)ln?1?x?(x??12)， 则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x?
⑴当x?(?12,0)时，h??x??0,?h(x)在[?12,0)单调递增； ⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。
?当x?(?12,0)时,h?x??h(?11?2ln22)?4
故f?x1?2In22??h(x2)?4．
已知函数f(x)?x，g(x)?ln(1?x)，h(x)?x1?x. （1）证明：当x?0时，恒有f(x)?g(x);
（2）当x?0时，不等式g(x)?kxk?x(k?0)恒成立，求实数k的取值范围; 解：（1）设F(x)?f(x)?g(x)，则F'(x)=1?11?x?x1?x ， 当x?0时，F'(x)?0，所以函数F(x)在（0，??)单调递增，又F(x)
在x?0处连续，所以F(x)?F(0)?0，即f(x)?g(x)?0，
所以
f(x)?g(x)。
（2）设G(x)?g(x)?kxk?x， 则G(x)在（0，??)恒大于0，G(x)?ln(?k?k21?x)k?x，
G'(x)?1k2x2?(2k?k2)x1?x?(k?x)2?(1?x)(k?x)2， x2?(2k?k2)x?0的根为0和k2?2k,
即在区间（0，??)上，G'(x)?0的根为0和k2?2k,
若k2?2k?0，则G(x)在(0,k2?2k)单调递减， 且G(0)?0，与G(x)在（0，??) 恒大于0矛盾；
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若k且G(0)
2?2k?0，G(x)在（0，??)单调递增，
?0，满足题设条件，所以k2?2k?0，所以0?k?2.。
1x?11?ln?； x?1xx11111（2）已知：n?N且n?2，求证：?????lnn?1????。
23n2n?111（1）令1??t，由x>0，∴t>1，x?
xt?11原不等式等价于1??lnt?t?1
t（1）已知：x?(0??)，求证令f(t)=t-1-lnt， ∵
f?(t)?1?1当t?(1,??)时，有f?(t)?0，∴函数f(t)在t?(1,??)递增 t即t-1 ∴f(t)>f(1) 另令g(t)?lnt?1?1t?1，则有g?(t)?2?0 tt∴g(t)在(1,??)上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴lnt综上得 ?1?1 t 1x?11?ln?x?1xx（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得 11123n11?????ln?ln???ln?1???? 23n12n?12n?111111即得?????ln?1???? 23n2n?1 利用导数求和 例7．利用导数求和： （1）（2） 。 n； 分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式(x另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 解：（1）当x=1时， )'?nxn?1，可联想到它们是 ； 当x≠1时， 6 导数习题分类精选 2 ， 两边都是关于x的函数，求导得 即 （2）∵ ， 两边都是关于x的函数，求导得。 令x=1得 ， 即 。 单调区间讨论 例．设a?0，求函数f(x)?x?ln(x?a)(x?(0,??)的单调区间. 分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解： f?(x)?1?12xx?a(x?0). 当a?0,x?0时 f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0. f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0 （i）当a?1时，对所有x?0，有x2?(2a?4)?a2?0. 即 f?(x)?0，此时f(x)在(0,??)内单调递增. （ii）当a?1时，对x?1，有x2?(2a?4)x?a2?0， 即 f?(x)?0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此， 函数 f(x)在（0，+?）内单调递增 （iii）当0?a?1时，令f?(x)?0，即x2?(2a?4)x?a2?0. 解得x?2?a?21?a,或x?2?a?21?a. 7 导数习题分类精选 2 因此，函数 f(x)在区间(0,2?a?21?a)内单调递增，在区间(2?a?21?a,??) 内也单调递增. 令 f?(x)?0,即x2?(2a?4)x?a2?0，解得2?a?21?a?x?2?a?21?a. f(x)在区间（2?a-21?a,2?a?21?a)内单调递减. 因此，函数 （2009安徽卷理） 已知函数 f(x)?x?2?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性. x ① 当??a2?8?0，即a?22时， a?a2?8a?a2?8方程g(x)?0有两个不同的实根x1?,x2?,0?x1?x2. 22x f?(x) f(x) (0,x1) + 单调递增? x1 0 极大 (x1,x2) _ 单调递减? x2 0 极小 (x2,??) + 单调递增 此时 a?a2?8a?a2?8a?a2?8a?a2?8f(x)在(0,)上单调递增, 在(,??)上单,)是上单调递减, 在(2222调递增. 3.设函数 f(x)?ax2?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线 y?f(x)在点 (1,f(1))处的切线垂直于直线 exx?2y?1?0．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若函数g(x)?，讨论g(x)的单调性． f(x) 8