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大学物理习题解答
湖南大学基础物理系
第一章 质点运动学
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1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t - 2t．试求： （1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程； （3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
解：（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)． 在第2s末的位移大小为x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s内的位移大小为Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为v=Δx/Δt = 4(m·s-1)．
（2）质点的瞬时速度大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2， 因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，v(2) = 12×2 - 6×22 = 0， 质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t， 因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 12×1 = 0，
第2s内的平均加速度为a= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s)． [注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证
2(n?1)s加速度为a?．并由上述数据求出量值． 2(n?1)t证：依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得a = (n – 1)vo/t ------- (1) 根据速度与位移的关系式 vt2 = vo2 + 2as， 得a = (n2 – 1)vo2/2s ------- (2) (1}平方之后除以 (2)式证得a?计算得加速度为a?2(5?1)30(5?1)102-2
2(n?1)s(n?1)t2．
= 0.4(m·s-2)．
1.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初
-1
速度65m·s从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问： （1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？
22.5o 70m 图1.3
解：方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方
-1
向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt - v0 = at，
这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为
t1 = vy0/g = 2.49(s)．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 = 2as， 可得上升的最大高度为h1 = vy02/2g = 30.94(m)．
1
他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m)． 根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为
t2?2h2g= 4.49(s)．
因此他飞越的时间为t = t1 + t2 = 6.98(s)．
他飞越的水平速度为vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1)， 所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m)．
-1
（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy = gt = 69.8(m·s)，
221/2-1
落地速度为v = (vx + vy) = 92.08(m·s)， 与水平方向的夹角为υ = arctan(vy/vx) = 49.30o，方向斜向下．
方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程
12gt?v0sin?t?y?0，解得 t?(v0sin??2v0sin??2gy)g．
22这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t = 6.98(s)． 由此可以求解其他问题．
1.4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船
2
速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv，k为常数． （1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为（2）试证在时间t内，船行驶的距离为x?dvv21v?1v0?kt；
1kln(v0kt?1)．
tv证：（1）分离变量得??kdt， 积分
v0?vdv2??k?dt， 可得
01v?1v0?kt．
（2）公式可化为v?dx?v01?v0kt1k2
v01?v0kt1，由于v = dx/dt，所以
xtdt?k(1?v0kt)d(1?v0kt) 积分
?dx?0?k(1?v010kt)d(1?v0kt)．
因此 x?ln(v0k?t1．) 证毕．
[讨论] 当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．
由于a = dx/dt，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程 dt?2
mdvf(v)，
解方程即可求解．在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则dv/dt = -kvn． （1）如果n = 1，则得
dvv??kdt，积分得lnv = -kt + C．
-kt
当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e．
而dv = v0e-ktdt，积分得x?v0?ke?kt?C`．
v0k(1-e?kt当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此 x?)．
2
（2）如果n≠1，则得
dvvn??kdt，积分得
v11?n1?nn?1??kt?C．
1v0n?1当t = 0时，v = v0，所以
v01?n1?n?C，因此
v??(n?1)kt． {[1?(n?1)v0kt](n?2)vn?1(n?2)/(n?1)如果n = 2，就是本题的结果．如果n≠2，可得x??1}n?20k，
读者不妨自证．
1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
解：（1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)， 法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2)；角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)， 切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2)． （2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，
当at = a/2时，有4at = at + an，即an?at3．由此得r?2?r?即 (12t2)2?24t3， 解得 t?3222
3，
3/6．
所以 ??2?4t3?2(1?=3.154(rad)． 3/3)（3）当at = an时，可得rβ = rω2，即 24t = (12t2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 203m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？ 解：建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x = v0cosθ，v0y = v0sinθ．
加速度的大小为ax = acosα，ay = asinα． 运动方程为x?v0xt?12axt，y??v0yt?1212aco?s?2212y a ay O α ax θ v0x v0y v0 ayt．
2s?t?即 x?v0co?t，
2x y??v0sin??t?asin??t．
2v0sin?asin??103(s)．
令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为t = 0（舍去）；t?将t代入x的方程求得x = 9000m．
[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．
3
1.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度． 解：圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度． 由于h?12R s)． at?t，所以at = 2h/Δt = 0.2(m·
v222-2
图1.7 A 物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(m·s-1)， 这也是边缘的线速度，因此法向加速度为an?R= 0.36(m·s-2)．
-2-1
1.8 一升降机以加速度1.22m·s上升，当上升速度为2.44m·s时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算： （1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
解：在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为h1?v0t?螺帽做竖直上抛运动，位移为h2?v0t?由题意得h = h1 - h2，所以h?解得时间为t?1212212at；
2gt．
2(a?g)t，
2h/(a?g)= 0.705(s)．
算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程 h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
1.9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变． （1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为t0?（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为t1?（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为t2?2lv；
t01?u/v22； ．
v
v
t01?u/v22证：（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v． （2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为
t1?lv?u?lv?u?2vlv?u22A B B u
?2l/v1?u/v22?t01?u/v22．
v + u A v - u
v A u v （3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为V?v?u，所以飞行时间为
22B
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