发布时间 : 星期三 文章北京市朝阳区2019届高三3月综合练习(一模)数学理更新完毕开始阅读8b1f9abf85254b35eefdc8d376eeaeaad1f316d1
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得
asinA,因为b?2acosA, ?bsinBb?0, 2a所以sinB?2sinAcosA,cosA=因为sinA?525,所以cosA?, 555254??, 555所以sinB?2?114所以S!ABC?acsinB??5??2.
22543（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinB?,因为B为锐角,所以cosB?.
55所以sinC=sin(π?A?B)?sin(A?B)
?sinAcosB?cosAsinB
?53254??? 5555115 25=16.（本小题满分14分）
如图1,在矩形ABCD中,AB?2,BC?4,E为AD的中点,O为BE的中点.将!ABE沿BE折起到A?BE,使得平面A?BE?平面BCDE（如图2）. （Ⅰ）求证:A?O?CD;
（Ⅱ）求直线A?C与平面A?DE所成角的正弦值;
（Ⅲ）在线段A?C上是否存在点P,使得OP//平面A?DE?若存在,求出
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A?P的A?C值;若不存在,请说明理由.
【解析】（Ⅰ）如图,在矩形ABCD中,
?AB?2,BC?4,E为AD中点,
?AB?AE?2,
?O为BE的中点,
?AO?BE
由题意可知,A?O?BE, 平面A?BE?平面BCDE
?B平面
A?B?E平面
C?D,EA?O?平面A?BE
?A?O?平面BCDE
?CD?平面BCDE,
?A?O?CD
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（Ⅱ）取BC中点为F,连结OF
由矩形ABCD性质,AB?2,BC?4,可知OF?BE 由（Ⅰ）可知,A?O?BE,A?O?OF
以O为原点,OA?为z轴,OF为x轴,OE为y轴建立坐标系 在Rt!BAE中,由AB?2,AE?2,则BE?22,OA?2, 所以A?(0,0,2),E(0,2,0),F(2,0,0),
B(0,?2,0),C(22,2,0),D(2,22,0),
?????????????A?C?(22,2,?2),ED?(2,2,0),A?E?(0,2,?2) ??设平面A?DE的一个法向量为m?(x,y,z)
????????m?A?E?0??2y?2z?0则??????,?令y?z?1,则x??1 ???m?ED?0??2x?2y?0??所以m?(?1,1,1)
设直线A?C与平面A?DE所成角为?
??????????????A?C?m2 sin??cos?A?C,m??????????3A?C?m所以直线A?C与平面A?DE所成角的正弦值为
2. 3（Ⅲ）假设在线段A?C上存在点P,满足OP//平面A?DE
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?????????设A?P??A?C(0???1)
?????????由A?C?(22,2,?2),,所以A?P?(22?,2?,?2?) ????P(22?,2?,2?2?),OP?(22?,2?,2?2?)
??????若OP//平面A?DE,则m?OP?0
1所以?22??2??2?2??0,解得???[0,1]
2所以
A?P1?. A?C217.（本小题满分13分）
某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别 男生 女生 选考方案确定情况 选考方案确定的有8人 选考方案待确定的有6人 选考方案确定的有10人 物理 化学 生物 历史 地理 政治 8 4 8 ·16·
8 3 9 4 0 6 2 1 3 1 0 3 1 0 1