发布时间 : 星期三 文章2010年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷(小高组)更新完毕开始阅读8aa000f782c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b382
位完全平方数，那么，其中四位完全平方数最小是 1369 ． 【解答】解：
32×32＝1024，含有0，不合要求 33×33＝1089，含有0，不合要求 34×34＝1156，含有两个1，不合要求 35×35＝1225，含有两个2，不合要求
36×36＝1296，剩下数字3、4、5、7、8没有哪两个数字可以组成两位完全平方数，不合要求
37×37＝1369，剩下数字2、4、5、7、8，其中25＝5×5，784＝28×28符合要求 故填1369
12．现有一块L形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成三部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切．要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为 80 平方厘米．
【解答】解：如图，
因为在图中两个三角形相似，大三角形是小三角形对应边的2倍， 2x×（30﹣10）÷2＝10×10﹣10x÷2 解此方程得 x＝4， 2×4×（30﹣20） ＝8×10
＝80（平方厘米）
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或（10﹣4+10）×10÷2 ＝16÷10÷2 ＝80（平方厘米） 故答案为：80．
13．小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚了1.5小时．那么，甲、乙两地全程 288 千米． 【解答】解：丙、丁两地以两个不同速度走，用时为3：4，
这段路原用时0.5×3＝1.5小时，车原速为72÷1.5＝48千米/小时，现速为48×＝36千米，
丙到乙以不同速度走，用时比为：3：4， 从丙到乙原计划用时： （2﹣）×3 ＝×3 ＝4（小时） （4+2）×48 ＝6×48 ＝288（千米）
答：甲、乙两地全程288千米． 故答案为：288．
14．9000名同学参加一次数学竞赛．他们的考号分别是1000，1001，1002，…9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不 样）差为2010的倍数，那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有 50 对． 【解答】解：设由于6030|（
与﹣
与
由相同的数字组成，且2010|（
﹣
） ﹣
），从而
的数字和相同，它们除以9的余数相同，即9|（）．
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考虑到0＜﹣＜9000，于是﹣603＝
．
﹣＝6030，＝+6030．
从末位数字可知d＝h，若c≥3，
﹣603＝≠
若c≤2，b＝0，因此，b≥1．
﹣603＝
，
，但（a﹣6）+b+（c﹣3）＝a+b+c﹣9≠a+b+c，
﹣603＝
﹣603＝
，不成立．
，同上知这种情况也不成立．
﹣603＝
．c+7在这里可能等于a或者b．如果a＝c+7，则b＝c+1，
此时（a，b，c）可以等于（7，1，0）、（8，2，1）以及（9，3，2）；如果b＝c+7，则a＝c+6，此时（a，b，c）可以等于（7，8，1）和（8，9，2）．（a，b，c）确定之后，再考虑d，d可以等于0，1，2，…9中的任何一个数字．这样，可以得到50个不同的abcd，继而可得到相应的efgh．于是，一共有50对这样的考号，由相同的数字组成，并且差为2010的倍数． 故答案为50．
15．小华编了一个计算机程序．程序运行后一分钟，电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡，接下来每到整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡，数量与第一分钟出现的相同．第11次出现肥皂泡后半分钟，有一个肥皂泡破裂．以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂，且数量比前一分钟多1个（即第12次出现肥皂泡后半分钟，有2个肥皂泡破裂…）．到某一时刻，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序运行的整个过程中，在电脑屏幕上最多同时有 1026 个肥皂泡出现．
【解答】解：设每次出现的肥皂泡数是k个，第m次肥皂泡破裂之后，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，在此之前，已经出现了m+10次肥皂泡，依据已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，可得： （10+m）k＝
化简得：2（10+m）k＝m（m+1），因为m，k都是正整数，所以
得：
所以m+10＝15，18，30，45，90
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所以m＝5，8，20，35，80，相应的，k＝1，2，7，14，36
当破裂的肥皂破数量小于新出现的肥皂泡数量时，电脑屏幕上的肥皂泡总数增加，当破裂的肥皂泡数量大于新出现肥皂泡数量时，电脑屏幕上的肥皂泡总数在减少，只有当破裂的肥皂破数量等于新出现的肥皂泡数量时，电脑屏幕上的肥皂泡总数才最多于是，当破裂的肥皂泡为k个的前半分钟电脑屏幕同时出现的肥皂最多，此时电脑上显示的 （10+k）k﹣
＝
，k 越大，显示的肥皂泡个数越多，当 k＝36 时，易
验证满足条件，此时显示的肥皂泡个数是 1026 个． 故答案为：1026．
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