发布时间 : 星期二 文章2020年九年级数学中考三轮冲刺复习：《四边形综合训练》(含解析)更新完毕开始阅读8a0391955dbfc77da26925c52cc58bd630869311
即CN2+CM2＝DM2+BN2 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，边OA落在y轴的正半轴上，点E从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿着射线AB 的方向运动，点A关于OE的对称点为点F．运动时间为t秒，连接OF、EF、BF、CF．（1）如图1、当∠AOE＝30°时，求∠CFB的度数； （2）如图2，当t＝1时，求证：BF⊥CF．
（3）如图3，过点F作FG⊥CF，且FG＝CF，连接AG．M为AG的中点，连接CM．则当t＝ （3+3
）s 时，CM有最小值，CM的最小值为 3﹣
．
解：（1）如图1中，连接AF．
由翻折想性质可知：∠AOE＝∠EOF＝30°，OA＝OF， ∴∠AOF＝60°， ∴△AOF是等边三角形， ∴AF＝FO，∠OAF＝60°，
41
∵四边形OABC是正方形，
∴AB＝OC，∠OAB＝∠AOC＝∠ABC＝∠OCB＝90°， ∴∠BAF＝∠COF＝30°， ∵AB＝AF＝OF＝OC，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠OCF＝∠OFC＝75°， ∴∠FCB＝∠FBC＝15°， ∠CFB＝180°﹣15°﹣15°＝150°．
（2）如图2中，作FM⊥AB于M，交OC于N．设FM＝x，EM＝y．
∵∠OAM＝∠AMN＝∠AON＝90°， ∴四边形AMNO是矩形，
∴MN＝AO＝3，AM＝ON＝1+y，FN＝3﹣x， 在Rt△EFM和Rt△OFM中，则有
，
解得，
∴BM＝CN＝3﹣1﹣＝， ∴BF＝＝，CF＝＝，
∴CF2+BF2＝
+
＝9＝BC2，
42
∴∠CFB＝90°， ∴CF⊥BF．
（3）如图3中，AO的延长线上截取OK＝OC，连接KC，KG，OM．
∵OC＝OF＝OK，∠COK＝90°， ∴∠CFK＝135°， ∵CF⊥FG， ∴∠CFG＝90°，
∴∠KFG＝360°﹣135°﹣90°＝135°， ∴∠KFC＝∠KFG， ∵KF＝KF，FC＝FG， ∴△KFC≌△KFG（SAS）， ∴KC＝KG＝3
，
∵OA＝OC＝OK，AM＝MG， ∴OM＝KG＝
，
∴点M的运动轨迹是以O为圆心，OM长为半径的圆弧， ∴当点M落在线段OC上时，CM定值最小，最小值＝3﹣，
此时易证：∠AOE＝∠EOF＝67.5°，可得BE＝OB＝3，
∴AE＝3+3， ∴t＝（3+3
）s．
43
故答案为：3+3，3﹣．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB﹣BC以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，连结PB，以线段PB为对角线作正方形PDBE，设点P的运动时间为t（s），正方形PDBE的面积为S（cm2）． （1）当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值；
（2）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，正方形PDBE至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
解：（1）当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时， 设正方形的边长为x，如图1所示： ∵PE∥AB， ∴
＝
， ， ， ，
＝
，
＝
，
即：＝解得：x＝∴PE＝
∴EC＝BC﹣BE＝4﹣∴PC＝
＝
∴t＝＝s；
（2）①当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H，如图2所示： 则PH∥AB，
44