发布时间 : 星期一 文章巧解真题 玩转高考—数学 - 图文更新完毕开始阅读89b7356af121dd36a22d826c
又?n?N*时,b2n(2n?1)?111n?(2n?1)2?(2n?1)2?2n?1?(2n?1)2 1[(1?111?11(22)n][1?()n]2n?(2n)?Sn?2?441?11 21?4?1?(1)n?13[1?(14)n2] ?43?(12)n?13?(14)n?43?12?13?14?34. ?当n?N*时,都有34?Sn?3. 【例2】已知数列?an?的各项均为正数，S*n为其前n项和,对于任n?意N,满足关 Sn?2an?2 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设数列?bn?的前n项和为T1n，且bn?(log，求证：对任意2an)2正整数n，总有Tn?2; 【巧解】（Ⅰ）解：?Sn?2an?2(n?N*), ① ?S*n?1?2an?1?2(n?2,n?N) ② ①—②，得an?2an?2an?1. (n?2,n?N*) ?a*n?0,?ana?2. (n?2,n?N) n?1即数列?an?是等比数列. ?a1?S1, ?a1?2a1?2,即a1?2.?an?2n.(n?N*) （Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有b1n?(log2?1n2. 2an)?T1n?12?122???1n2?1?11?2?112?3???(n?1)n 33 / 59 ?1?1?12?12?13???1n?1?1n?2?1n?2. 巧练一：已知数列{an}的通项为an，前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项；数 列{bn}中，b1?1,点P（bn，bn?1）在直线x?y?2?0上， （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式an，bn； （Ⅱ）设{b1n}的前n项和为Bn，试比较B?1B???1与2的大小； 12Bn巧练二：已知数列{an}和{bn},{a?n}的前n项和为Sn,a2?0，且对任意n?N，都有2Sn?n(an?1),点列Pn(an,bn)都在直线y?2x?2上. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：112|P21P2|?|P2??11P3|?|P|2?1Pn5(n?2,n?N?) 二十、反证法 从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。基本证明模式是：要证明M?N，先假设M?N，由已知及性质推出矛盾，从而肯定M?N，适用范围：①否定性命题；②唯一性命题；③含有“至多”、“至少”问题。④根据问题条件和结论，情况复杂难于入手，可考虑试用反证法。 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：否定结论?推导出矛盾?肯定结论成立，应用反证法证 34 / 59 明的主要三步是：第一步，反设——作出与求证结论相反的假设；第二步——归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步——肯定结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 【例1】若0?a?2,0?b?2,0?c?2,证明 (2?a)b，(2?b)c，(2?c)a不能同时大于1 ?(2?a)b【巧证】假设??1?(2?b)c?1，那么(2?a)?b?(2?a)b?1；同理??(2?c)a?12(2?b)?c2?1 (2?c)?a2?1，上述三式相加得3?3，矛盾，故假设不成立，原命题成立 【例2】求证：y?sin|x|不是周期函数 【巧证】假设函数y?sin|x|是周期函数，T是它的一个周期(T?0)，即对任意x?R都有sin|x?T|?sin|x|成立，令x?0，得sin|T|?sin|0|,即sin|T|?0，∴T?n?(n?N?)，分两种情况讨论： （1）若n?2k(k?N?)，则sin|x?2k?|?sin|x|对任意x?R都成立，取x??3?2， 有sin|?3?2?2k?|?sin|?3?2|?sin3?2??1，即sin(2k??3?2)??1， 而sin(2k??3?2)?sin(?3?2)??sin3?2?1，∴T?2k?(n?N?)不是该函数的周期。 （2）若n?2k?1(k?N?)，则有sin|x?(2k?1)?|?sin|x|对任意x?R都成立， 取x??2，有有sin|?2?(2k?1)?|?sin|?2|?sin?2?1，即sin(2k??3?2)?1， 而sin(2k??3?2)?sin(3?2)??1，∴T?(2k?1)?(n?N?)不是该函数的周期。 35 / 59 由（1）和（2）说明T?n?(n?N?)不是该函数的周期。故假设不成立，从而命题得证。 巧练一：设f(x)?x2?ax?b，求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|之中至少有一个不小于12 巧练二：若下列方程：x2?4ax?4a?3?0，x2?(a?1)x?a2?0， x2?2ax?2a?0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。 二十一、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：（1）局部换元，局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式4x?22?2?0，先变形为设t?2x(t?0)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。（2）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已 36 / 59