发布时间 : 星期日 文章高中数学二轮复习数列的通项公式与求和教案含答案(全国通用)更新完毕开始阅读88375f13abea998fcc22bcd126fff705cd175c4d
2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇
热点11 数列的通项公式与求和
【热点考法】本热点考题形式为选择题、填空题或解答题，求数列通项公式主要考查构造法、叠加法、叠乘法及第n项与前n项和公式法，解答题主要考查分组求和法、拆项法、错位相减法、并项法，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档难度，分数为5至12分. 【热点考向】
考向一 数列的通项公式
【解决法宝】求数列的通项公式的常见类型和解法：
（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数
n的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部
分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出an的通项公式，再用数学归纳法证明. （2）累加法：对于可转化为an?1?an?f(n)形式数列的通项公式问题，化为
an?1?an?f(n)，通过累加得an=(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1
=f(n?1)?f(n?2)???f(1)?a1，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数
an?1?f(n)，（3）累积法：对于可转化为an?1?anf(n)形式数列的通项公式问题，化为an通过累积得an=
anan?1a????2?a1 =f(n?1)?f(n?2)???f(1)?a1，求出数列的an?1an?2a1通项公式，注意相乘等式的个数
（4）构造法：对于化为an?1?pan?f(n)（其中p是常数）型，常用待定系数法将其化为
an?1?Af(n?1)?p[an?Af(n)]，由等比数列定义知{an?Af(n)}是公比为p的等比数
列，由等比数列的通项公式先求出an?Af(n)通项公式，再求出an的通项公式. （5）利用前n项和Sn与第n项an关系求通项：对递推公式为Sn与an的关系式(或
?S1????????????????(n?1)Sn?f(an))，利用an??进行求解.注意an=Sn?Sn?1成立的条件
S?S???????(n?2)n?1?n是n≥2，求an时不要漏掉n=1即an=S1的情况，当a1=S1适合an=Sn?Sn?1时，
an=Sn?Sn?1；当a1=S1不适合an=Sn?Sn?1时，用分段函数表示.
例1．【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，18】（本小题满分12分）设数列?an?的前n和为Sn,已知a1?1,an?1?2Sn?1,n?N?.
（1）求出数列?an?的通项公式； （2）求数列an?n?2的前n和为Tn .
【分析】（1）由和项求通项时，要注意分类讨论：当n?2时, an?Sn?Sn?1，得an?1?3an；当n?1时, a2?2S1?1?2a1?1?3?3a1，（2）先根据绝对值定义知当n?3时,
??bn?3n?1??n?2?,而b1?2,b2?1，因此求和需分类讨论：T1?2,T2?3，当n?3时,利
用分组求和法得T?3?n9?1?3n?2?1?3n?2??n?7?3n?n2?5n?11???.
22【解析】（1）由题意得a2?2S1?1?2a1?1?3,当n?2时, 由
an?1?an??2Sn?1???2Sn?1?1??2an,得an?1?3an,?a2?3a1,?an?3n?1,n?N?.
考向二 数列求和
【解决法宝】数列求和的主要方法：
（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n和公式求前n项和. （2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.
常用拆相公式: ①若?an?是各项都不为0公差为d(d?0)的等差数列，则
1111) =?(?anan?1danan?1 ②an=1n?n?1=n?1?n
（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想
（4）错位相减法：若数列?an?是公差为d(d?0)的等差数列，{bn}是公比为q(q?1)的等比数列，则在数列?anbn?的前项和Sn=a1b1?a2b2?a3b3????anbn = a1b1?a2b1q?a3b1q????anb1q2n?1 ①，两边同乘以公比q得qSn=
a1b1q?a2b1q2?a3b1q3????anb1qn② ，①式与②式错位相减得(1?q)Sn=
a1b1?(a2b1q?a1b1q)?(a3b1q2?a2b1q2)????(anb1qn?1?an?1b1qn?1)?anb1qn = a1b1d(1?q?q2????qn?1)?anb1qn，转化为等比数列1,q,q2,??,qn?1，的前n项和
问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.
（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．
例2．【山东省实验中学2017届高三第一次诊，18】已知等比数列?an?的前n项和为Sn，公比q?0，S2?2a2?2，S3?a4?2． （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?n，求?bn?的前n项和Tn． an【分析】（1）确定等比数列通项公式，基本方法为待定系数法，两个独立方程可解两个未知数，涉及和项，一般利用作差转化为通项：a3?a4?2a2，进而可求出公比q?2，回代可得a1?2（2）数列求和，首先分析通项特征，由于?bn?为等差乘等比型，所以利用错位相减法求和：注意项的符号变化、项的个数、最后结果形式，最好代入验证所求结果.
（2）由（1）知bn?n……………7分 2n123n?1nTn??2?3?......?n?1?n
222221123n?1nTn?2?3?4?......?n?n?1.................9分 222222错位相减
111111nTn??2?3?4?......?n?n?1............11分 2222222n?2Tn?2?n.....................12分
2例3．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，17】（本小题满分12分） 数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?a1，且a1,a2?1,a3成等差数列． （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?an?1，求数列?bn?的前n项和Tn．
SnSn?1【分析】（1）由通项与和项关系求数列通项公式，需注意分类讨论，即
an?sn?sn?1?n?2?，an?s1?n=1?
，而由an?2an?1?n?2?得数列成等比是不充分的，需强调每一项不为零，这就必须求出
2n?111b??首项（2）因为bn?n?1，所以一般利用裂项求和：，n2n?1?22n?2?2?2?2??2n?2?2?即
1??11?1??1?1Tn??2?3?????????3??n?1?4n?2?2?22?2??2?22?2??2?22?2?