发布时间 : 星期日 文章（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.5绝对值不等式讲义（含解析）更新完毕开始阅读882cc698df3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b0d5
§2.5 绝对值不等式
最新考纲 1.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式求－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 2.了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和数列、函数的结合是常见题型，解答题居多，难度为中高档. 考情考向分析
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
不等式 |x|a
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 概念方法微思考
|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？
提示 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
1
a>0 (－a，a) a＝0 ? a<0 ? R (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( × ) (2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．( × ) (3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.( √ ) (4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.( √ )
(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|恒成立．( 题组二 教材改编
2．[P20T7]不等式3<|5－2x|≤9的解集为( ) A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C．(－2，－1]∪[4,7) D．[－2,1)∪(4,7]
答案 D
解析 由题意得??
?
|2x－5|≤9，??|2x－5|>3，
即??
?－9≤2x－5≤9，??2x－5>3或2x－5<－3，
解得???
－2≤x≤7，?∪(4,7]．
?x>4或x<1，
不等式的解集为[－2,1)3．[P20T8]不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( ) A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5)
答案 A
解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立， ∴x≤1.
②当1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2， ∴4＜2，∴此时无解． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． ) 2 ×题组三 易错自纠 4．(2018·浙江源清中学月考)已知a，b∈R，则“|a＋b|≤3”是“|a|＋|b|≤3”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B 解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴由|a|＋|b|≤3可得|a＋b|≤3， 又当a＝－4，b＝2时，|a＋b|≤3成立， 而|a|＋|b|≤3不成立， 故“|a＋b|≤3”是“|a|＋|b|≤3”的必要不充分条件． 5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是( ) A．[2,4] C．[－2,4] 答案 C 解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 则|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 12 6．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 2______． 1??答案 ?－1，? 2?? 解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2| B．[1,2] D．[－4，－2] B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ?1?－x＋3，－2≤x<， 2＝? 1 3x＋1，x≥.??2 －3x－1，x<－2， 当x<－2时，y＝－3x－1>5； 15 当－2≤x<时，＜y＝－x＋3≤5； 2215 当x≥时，y＝3x＋1≥， 22 5故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为. 2 3 12 因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋a＋2对任意实数x恒成立， 2521 所以≥a＋a＋2. 22 5211解不等式≥a＋a＋2，得－1≤a≤， 2221??故实数a的取值范围为?－1，?. 2?? 题型一 绝对值不等式的解法 1．(2018·浙江嘉兴七校期中)不等式1≤|2x－1|＜2的解集为( ) ?1??3?A.?－，0?∪?1，? ?2??2??1??3?C.?－，0?∪?1，? ?2??2? 答案 C ?13?B.?－，? ?22? D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析 不等式等价于1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1， 31 解得1≤x<或－＜x≤0. 22 2．(2018·宁波北仑中学期中)若关于x的不等式|x－1|－|x－3|>a－3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是( ) A．1 解析 ∵(|x－1|－|x－3|)max＝2， 3－173＋172 ∴a－3a<2，得 3．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为______________． 答案 {x|x≤－3或x≥2} 解析 方法一 要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}． B. 3－173＋17