发布时间 : 星期一 文章行列式计算的有效性实现更新完毕开始阅读87d98933eefdc8d377ee3207
例5 计算行列式
???1Dn?0?00?????1?000?000?1000?.
????????00???????????解 按第一列展开，有
Dn?(???)Dn?1???Dn?2；特征方程：x2?(???)x????0，即
(x??)(x??)?0，根?1??,?2??，(???)，则 Dn?A?n?1?B?n?2，又D1????,D2????1????2?????2
???故
D1?A?B?????解得
?2A????B??D2?A??B??2?????2?3 ,
????2?3?n?1??n?1n?1n?2?????所以Dn?，(???). ?????????另外指出，当???时，易得上述行列式Dn?(n?1)?.特别地，此行列式是一类很广泛的行列式一般形式，结果可作公式用，例如计算
n320?00132?00Dn?013?00??????000?32000?13对于不能直接套用上述结果的“同型”行列式，可对其作适当转换，进而直接套用上述
结果，类似应用可参阅参考文献[2].
，取??1,??2，便有Dn?2n?1?1；
7 参数法求解行列式
参数法求解行列式，顾名思义就是在原行列式中添加参数后再求解行列式，这一思想主
要是居于行列式可以拆成两个行列式之和.它主要应用于一类添加参数后，再对参数赋值可使参数行列式成对角型，进而解出原行列式. 例 6 计算n阶乘行列式
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x1bDn??bba?bb???aa?baa?，(a?b). axnx2??xn?1析 此行列式无论是主对角的斜上方还是斜下方，其元素均完全一样，若能将它们化成
0，则可容易地得到Dn的值，采用参数法求解可达到这一目的.
解 将Dn中的每个元素都加上参数t，由此所得之行列式记为Dn(t)，即
x1?tb?tDn(t)??b?tb?ta?t?b?tb?t???a?ta?t?b?ta?ta?t?a?txn?t?Dn?rt，其中r与t无关.
x2?t??xn?1?t如此，显然：Dn(?a)?Dn?ar,Dn(?b)?Dn?br ………….（1） 若令f(t)?(x1?t)(x2?t)?(xn?t).
则由参数行列式知：Dn(?a)?f(a),Dn(?b)?f(b) …………. （2） 故由（1）（2）消去r，便有Dn?af(b)?bf(a)，(a?b).
a?b8 特殊拉普拉斯（Laplace）展开式
在行列式的乘法规则里，拉普拉斯定理是一个极其重要的定理，它有时能使行列式计算
变得极其简单，而两种特殊的拉普拉斯展开式在某些行列式计算中就更极为有效.
这两种特殊的展式是：设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且A,B的行列式均是易求的，则 ⅰ
A*0B0BA*?A0*B*BA0?AB;
ⅱ
??(?1)mnAB.
*表示行列式中对应位置上的元素可任意取值，0表示对应位置上的元素取值均为0. 若行列式不是上述类型，可适当变形后再计算.
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000例7 计算D1?11789226，D2?78000?3423045006000解 D1?1a10b200c10d2b10a200d10c2.
1789000?34236?(?1)2?37804500612123?045?240； 006?34a1对于D2?0c10d200c10b10a2000d1c2?0d10c2，先互换第2,3行，再对调第2,3列，即可用上述特殊的拉
0b20普拉斯展式计算，即
a1D2?b200b1a200a1b2?a2d2b1c1d1c2?(a1a2?b1b2)(c1c2?d1d2).
9 结束语
由上述讨论可知，尽管n阶行列式计算一般较难，求解方法众多，也并不是毫无规律可
循，只要抓住了行列式本身的特征（结构），掌握了特殊类型行列式典型而又较为通用的计算办法，有效地实现行列式计算的第一步转化，即可结合行列式性质轻松地完成行列式计算.
参考文献
[1]王萼芳，石生明. 高等代数（第三版）. —北京:高等教育出版社，2003.9 [2]杨子胥编著. 高等代数精选题解. —北京:高等教育出版社，2008.6
[3]严守全编著. 线性代数教程（工科数学基础）.—北京：清华大学出版社,2007.8
[4]李正元，李永乐，袁荫棠主编. 数学复习全书数学一. —北京：国家行政学院出版社,2009.9
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