发布时间 : 星期日 文章（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习-2.2函数的单调性与最值教案（含解析）更新完毕开始阅读857d23e2cdbff121dd36a32d7375a417876fc1f3
由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．
题型二 函数的最值1．函数y＝x2－1
x2＋1
的值域为____________．
答案 [－1,1)
解析 由y＝x2－12
1＋yx2＋1，可得x＝1－y. 由x2
≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y<1，
故所求函数的值域为[－1,1)．
2．函数y＝x＋1－x2的最大值为________．答案
2
解析 由1－x2
≥0，可得－1≤x≤1. 可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，
9
π??则y＝cosθ＋sinθ＝2sin?θ＋?，θ∈[0，π]， 4??所以－1≤y≤2， 故原函数的最大值为2.
3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________． 答案 [3，＋∞)
－2x＋1，x≤－1，??
解析 函数y＝?3，－1 ??2x－1，x≥2.作出函数的图象如图所示． 根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)． 3x＋1 4．函数y＝的值域为________________． x－2答案 {y|y∈R且y≠3} 3x＋13?x－2?＋77 解析 y＝＝＝3＋， x－2x－2x－2因为 77≠0，所以3＋≠3， x－2x－2 3x＋1所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}． x－2 ?1?x5．函数f(x)＝??－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． ?3? 答案 3 ?1?x解析 由于y＝??在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增， ?3? 10 所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 6．若函数f(x)＝x＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( ) A．与a有关，且与b有关 C．与a无关，且与b无关 答案 B 解析 方法一 设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点， 则m＝x1＋ax1＋b，M＝x2＋ax2＋b. ∴M－m＝x2－x1＋a(x2－x1)， 显然此值与a有关，与b无关．故选B. 方法二 由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k， 2 2 2 2 2 B．与a有关，但与b无关 D．与a无关，但与b有关 m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B. 思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)分离常数法：形如求y＝cx＋d(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． ax＋b(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－ f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f?－?，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A．c>a>b C．a>c>b 答案 D 解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因5?1??5?为a＝f?－?＝f??，且2<<3，所以b>a>c. 2?2??2?命题点2 解函数不等式 11 ?1? ?2? B．c>b>a D．b>a>c 例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( ) A．{x|－3 解析 ∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0， ∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0. ∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数， ∴当0 则不等式f(x)<0的解集是{x|0 例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是( ) ππ3π A.B.C.D．π 424答案 C ?π?解析 ∵f(x)＝cosx－sinx＝－2sin?x－?， 4?? π?ππ??π3π?∴当x－∈?－，?，即x∈?－，?时， 2?4?4?2?4 y＝sin?x－?单调递增， 4 ?? π?? f(x)＝－2sin?x－?单调递减， 4 ?? π? ? ?π3π?∴?－，?是f(x)在原点附近的单调减区间， 4??4 ?π3π?结合条件得[0，a]??－，?， 4??4 3π3π ∴a≤，即amax＝. 44 1??x2＋a－2，x≤1， 2(2)已知函数f(x)＝???ax－a，x>1， 若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的 12