发布时间 : 星期三 文章(完整word)北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题,推荐文档更新完毕开始阅读85789a7c29160b4e767f5acfa1c7aa00b52a9d09
1等腰三角形
知识点1 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)． 用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． 定理的证明：
取BC的中点D，连接AD．
?AB?AC(已知),? ∵?BD?CD(中点定义)，∴△ABD≌△ACD(SSS)．
?AD?AD(公共边)，?∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等． 拓展 等腰三角形还具有其他性质．
(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．
(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角． (3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
b＜a． 2(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．
知识点2 等腰三角形的性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)． (1)用符号语言表示为：如图1－3所示，
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC； ②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC； ③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC． (2)推论1的证明．
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC． ②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
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∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)． ∴∠1＝∠2，BD＝CD．
③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD， ∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC. (3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.
推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°． (1)用符号语言表示为：如图1－4所示，
在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． (2)推论2的证明： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵AB＝BC，∴∠A＝∠C． ∴∠A＝∠B＝∠C．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
知识点3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)． 用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中， ∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
判定定理的证明：如图1－6所示．
过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)， ∴AB＝AC．
√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等． 拓展 如图1－6所示，在△ABC中，
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(1)如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC； (2)如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC； (3)如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC．
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论1．
(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论1的证明：
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
1800??A又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝＝60°
2∴AB＝AC＝BC．
(或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)
√推论2．
(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC． (3)推论2的证明：
在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)． 又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC． (4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形． 拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法： (1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等； (2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°； (3)根据推论2，证明三个角都相等． √推论3．
(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
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(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝ (3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．
知识点5 反证法
1AB． 2先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是： (1)假设命题不成立； (2)从假设出发推导出矛盾；
(3)否定假设，从而肯定命题的结论． 规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．
2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．
3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．
探究交流
想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？
解析 有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图1－2所示.
?AB?AC(已知),?∵??1??2(角平分线定义), ?AD?AD(公共边),?∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等) 课堂检测
1、如图1－10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝
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22AC，AE＝AB．求证BD＝CE． 33