发布时间 : 星期一 文章高中数学人教A版选修2-1 空间向量与立体几何更新完毕开始阅读8567ed67edf9aef8941ea76e58fafab069dc44e0
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空间向量与立体几何
河北新乐一中张增辉
一、选择题
1．(2013·南昌模拟)在空间中，已知AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，则∠
→
→
ABC的大小为( )
A．45° C．120°
→
B．90° D．135° →
【解析】 由BA＝(－2，－4,0)，BC＝(－1,3,0)得
→
→
→→
cos〈BA，BC〉＝
BA·BC|BA||BC|
→
→＝
2－122
＝－，
225×10
又0°≤〈BA，BC〉≤180°， ∴∠ABC＝135°. 【答案】 D
9
2．(2013·山东高考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，
4底面积是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所
→→
信达
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成角的大小为( )
A.C.5π
12π 4
B.D.π 3π 6
【解析】 画出三棱柱ABC—A1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角．
如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：
PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3， 则S＝
333×(3)2＝， 44
9
4
VABC—A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝3. 又AO＝
3PO×3＝1，∴tan∠PAO＝＝3， 3AOπ
. 3
∴∠PAO＝
【答案】 B
3．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝
PD＝a.点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成
信达
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角为( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点．则P(0,0，
aa??
a)，B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)，又DE＝?0，，?，
?
22?
→
→→
PB·DE＝0＋－＝0，
2
2
所以PB⊥DE.由已知DF⊥PB，又DF∩DE＝D，
所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°. 【答案】 D
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
1A. 2C.3 3
2B. 3D.2 2
→
a2a2
【解析】 以A为原点建立空间直角坐标系，如图．
信达
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设棱长为1，
1??
则A1(0,0,1)，E?1，0，?，D(0,1,0)，
2??所以A1D＝(0,1，－1)， 1??
A1E＝?1，0，－?，
2??
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)， →
→
?y－z＝0，
则?1
?1－2z＝0，
?y＝2，所以?
?z＝2，
所以n1＝(1,2,2)．
设平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)， ?2?2
?＝. 所以|cos〈n1，n2〉|＝?
?3×1?3
2
即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.
3【答案】 B
5．P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为
( )
信达