发布时间 : 星期一 文章2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题22 等腰三角形(含解析)更新完毕开始阅读8327894e33b765ce0508763231126edb6f1a763c
观察图象可知：当 0＜m＜当 m＝当 m＞
时，满足条件的点 P 的个数有 4 个，
时，满足条件的点 P 的个数有 3 个，
时，满足条件的点 P 的个数有 2 个（此时点 P 在 BD 的左侧）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
（2019?湖南长沙?10 分）如图，抛物线 y＝ax2+6ax（a 为常数，a＞0）与 x 轴交于 O，A 3
两点，点 B 为抛物线的顶点，点 D 的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接 BD 并延长与过 O，A，B 三点的⊙P 相交于点 C．
（1） 求点 A 的坐标；
（2） 过点 C 作⊙P 的切线 CE 交 x 轴于点 E．
①如图 1，求证：CE＝DE； ②如图 2，连接 AC，BE，BO，当 a＝
，∠CAE＝∠OBE 时，求﹣的值．
【分析】（1）令 y＝0，可得 ax（x+6）＝0，则 A 点坐标可求出；
（2）①连接 PC，连接 PB 延长交 x 轴于点 M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE， 则 CE＝DE；
②设 OE＝m，由 CE2＝OE?AE，可得
，综合整理代入
可求出
，由∠CAE＝∠OBE 可得的值．
，则
【解答】解：（1）令 ax2+6ax＝0， ax（x+6）＝0，
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∴A（﹣6，0）；
（2）①证明：如图，连接 PC，连接 PB 延长交 x 轴于点 M，
∵⊙P 过 O、A.B 三点，B 为顶点，
∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°， 又∵PC＝PB， ∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE 为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°， 又∵∠BDP＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠COE，
∴CE＝DE．
②解：设 OE＝m，即 E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE?AE， ∴（m﹣t）2＝m?（m+6）， ∴
①，
∵∠CAE＝∠CBD，
∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO， 由角平分线定理：即：
， ，
∴ 由①②得
②，
，
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整理得：t2+18t+36＝0， ∴t2＝﹣18t﹣36， ∴
．
【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与 x 轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．
（2019?甘肃武威?10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 D 在 BC 边上， 4
⊙D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E．
（1） 求证：AC 是⊙D 的切线； （2） 若 CE＝2
，求⊙D 的半径．
【分析】（1）连接 AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30
°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， 于是得到 AC 是⊙D 的切线；
（2）连接 AE，推出△ADE 是等边三角形，得到 AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠ AED﹣∠C＝30°，得到 AE＝CE＝2【解答】（1）证明：连接 AD，
，于是得到结论．
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC 是⊙D 的切线；
（2）解：连接 AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
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∴△ADE 是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE＝2
，
．
∴⊙D 的半径 AD＝2
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质， 正确的作出辅助线是解题的关键．
5 .（2019?广西贵港?10 分）已知：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为 α，当 90°＜α＜180°时，作 A′D⊥ AC，垂足为 D，A′D 与 B′C 交于点 E．
（1） 如图 1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC 的平分线 EF 交 BC 于点 F．
①写出旋转角 α 的度数；
②求证：EA′+EC＝EF；
（2） 如图 2，在（1）的条件下，设 P 是直线 A′D 上的一个动点，连接 PA，PF，若 AB
＝
，求线段 PA+PF 的最小值．（结果保留根号）
【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD 即可解决问题．
②连接 A′F，设 EF 交 CA′于点 O．在 EF 时截取 EM＝EC，连接 CM．首先证明△CFA
′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图 2 中，连接 A′F，PB′，AB′，作 B′M⊥AC 交 AC 的延长线于 M．证明△
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