发布时间 : 星期一 文章2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题22 等腰三角形(含解析)更新完毕开始阅读8327894e33b765ce0508763231126edb6f1a763c
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识； 根据角的关系得出方程是解题的关键．
10 .
（2019?湖北武汉?3 分）问题背景：如图 1，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△ ADE，DE 与 BC 交于点 P，可推出结论：PA+PC＝PE． 问题解决：如图 2，在△MNG 中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝ 一点，则点 O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是 2
．
．点 O 是△MNG 内
【分析】（1）在 BC 上截取 BG＝PD，通过三角形求得证得 AG＝AP，得出△AGP 是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接 EC，延长 BC 到 F， 使 CF＝PA，连接 EF，证得△ACE 是等边三角形，得出 AE＝EC＝AC，然后通过证得△ APE≌△ECF（SAS），得出 PE＝PF，即可证得结论；
（2）以 MG 为边作等边三角形△MGD，以 OM 为边作等边△OME．连接 ND，可证△GMO
≌△DME，可得 GO＝DE，则 MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当 D.E.O、N 四点共线时， MO+NO+GO 值最小，最小值为 ND 的长度，根据勾股定理先求得 MF、DF，然后求 ND 的长度，即可求 MO+NO+GO 的最小值．
【解答】（1）证明：如图 1，在 BC 上截取 BG＝PD， 在△ABG 和△ADP 中
，
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，
∵∠GAP＝∠BAD＝60°，
∴△AGP 是等边三角形，
∴∠AGC＝60°＝∠APG，
∴∠APE＝60°，
∴∠EPC＝60°，
第 13 页 共 34 页
连接 EC，延长 BC 到 F，使 CF＝PA，连接 EF，
∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△ADE，
∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，
∵AE＝AC，
∴△ACE 是等边三角形，
∴AE＝EC＝AC，
∵∠PAE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60
°，∠AED＝∠ACB，
∴∠PAE＝∠ECF， 在△APE 和△ECF 中
∴△APE≌△ECF（SAS），
∴PE＝PF，
∴PA+PC＝PE；
（2）解：如图 2：以 MG 为边作等边三角形△MGD，以 OM 为边作等边△OME．连接
ND，作 DF⊥NM，交 NM 的延长线于 F．
∵△MGD 和△OME 是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO 和△DME 中
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当 D.E.O、M 四点共线时，NO+GO+MO 值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
第 14 页 共 34 页
∵MG＝
．
∴MF＝DF＝4，
∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，
∴ND＝＝＝2，
，
∴MO+NO+GO 最小值为 2故答案为 2
，
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．
11 .（2019?甘肃武威?4 分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A＝80°，则它的特征值 k＝ 或 ．
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【解答】解：
①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：∴特征值 k＝
＝
＝50°
②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20° ∴特征值 k＝
＝
综上所述，特征值 k 为或
第 15 页 共 34 页
故答案为或
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A 的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 12
( 2019 甘肃省兰州市) （ 5 分） 在△ABC 中， AB ＝ AC ，
.
∠A ＝ 400 ， 则∠B ＝
【答案】700．
【考点】等腰三角形性质.
【考察能力】空间想象能力.
【难度】容易
【解析】∵AB＝AC， ∠A＝400，
∴∠B＝∠C＝700.
13 (2019 甘肃省陇南市)（4 分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A＝80°，则它的特征值 k＝ 或 ．
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【解答】解：
①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：∴特征值 k＝
＝
＝50°
②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20° ∴特征值 k＝
＝
综上所述，特征值 k 为或故答案为或
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A 的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
三.解答题
1. （2019?湖北十堰?8 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点
第 16 页 共 34 页