发布时间 : 星期二 文章2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题22 等腰三角形(含解析)更新完毕开始阅读8327894e33b765ce0508763231126edb6f1a763c
等腰三角形
一.选择题
1. 1.（2019?浙江衢州?3 分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成， 两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若∠ BDE=75°，则∠CDE 的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 8 0°
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， 设∠O=∠ODC=x， ∴∠DCE=∠DEC=2x， ∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x， ∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°， 即 x+180°-4x+75°=180°， 解得：x=25°， ∠CDE=180°-4x=80°. 故答案为：D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得 x 值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案. 2. （2019?湖南长沙?3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠CAD 的度数是（
）
A．20°
B．30° C．45° D．60°
【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知 DA＝DB，即∠DAB＝∠B
＝30°，从而得出答案．
【解答】解：在△ABC 中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
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∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， ∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°， 故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
3 （2019?湖南长沙?3 分）如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D .
是线段 BE 上的一个动点，则 CD+
BD 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
＝2，设 AE＝a，BE＝
BD＝CD+DH，
【分析】如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M．由 tanA＝2a，利用勾股定理构建方程求出 a，再证明 DH＝由垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M．
BD，推出 CD+
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°， ∵tanA＝
＝2，设 AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2， ∴a2＝20，
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∴a＝2或﹣2（舍弃）， ，
∴BE＝2a＝4
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC， ∴CM＝BE＝4
（等腰三角形两腰上的高相等）
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH＝ ∴DH＝ ∴CD+
＝
＝
，
BD， BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM， ∴CD+∴CD+
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
4 （2019?湖南怀化?4 分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅.
具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
BD≥4
，
BD 的最小值为 4
．
A． B．
C．
D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确； D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
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故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转 180°后与原图重合． 5 （2019?湖南邵阳?3 分）.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD 是斜边 BC 上的中线，将△ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则∠ BED 等 于 （ ）
A．120°
B．108° C．72° D．36°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出 AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝ ∠C＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠ BAD+∠ADF＝108°．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD 是斜边 BC 上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵将△ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质． 6 （2019?湖南岳阳?3 分）下列命题是假命题的是（ ） .
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