发布时间 : 星期五 文章二次样条与三次样条的研究更新完毕开始阅读824d71503c1ec5da50e27048
安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文
由此可求得 S(xi?0)??/hihy?yMi?iMi?1?i?1i 36hi 类似地可求出S(x)在区间[xi,xi?1]上的表达式，从而得 S(xi?0)?/hi?1hy?yi?1 Mi?1?i?1Mi?i63hi?1利用S/(xi?0)?S/(xi?0)可得
?iMi?1?2Mi??iMi?1?di(i?1,2,...,n?1)
f(xi,xi?1)?f(xi?1,xi)?6f(xi?1,xi,xi?1)，
hi?1?hi 其中?i,?i由前面所示，而di?6 只要加上的任一种边界条件就可得到Mi的方程组。 若边界条件1，则得到端点方程为2M0?M1?6(f(x0,x1)?f0/) h06(fn/?f(xn?1,xn)) hn?1 Mn?1?2Mn? 若边界条件为2，则端点方程为M0?f0//,Mn?fn//。
同样可通过追赶法，可求出方程的解Mi(i?0,1,...,n)，代入则得到三次样条函数
S(x)。
以下是举例说明：求3次样条S（x）,满足：S（0）=2,S(1)=2,S(2)=0.5,S(3)=3,S(4)=-2,S(5)=1,S(6)=9,S(7)=2,S(8)=1.5,S(9)=2,S(10)=3,S(11)=2.
若m3??1，m8?0.5已知，把m3??1，m8?0.5代入，得到如下方程组
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?0.520.5??m0???2.25????m???0.5221?????????m2???1.75?0.50.5??????m20.5?2.5???3??????m4??16.5?0.520.5??*??=??
m0.520.51.5???5??????m???11.5?0.52???6???0.50.5???m7???2.5????m??2?20.5???8????????0.520.5??m9??1.5??? 方程组第4个方程—第7个方程组成的子方程组如下：
?20.5??m4???2.5????m??16.5?0.520.5? ???5?=??0.520.5??m6??1.5???????m?11.50.52??7????这是三对角方程组，可以采用追赶法求解出m4=-3.5407，m5=9.1627，m6=-0.1100，
m7=-5.7225.
把m4=-3.5407代入第3个方程进行化简，方程组第1个方程—第3个方程粗成的子方
?0.520.5???0.52?程组如下：??0.5????m0???2.25?????m2=?1??? ?m??0.0204??2???此方程组为3*3的上三角方程，先计算出m2?0.0408，依次求出m1=3.8368，
m0=-19.8880.。
把m7=-5.72225代入第8个方程进行化简，方程组第8个方程~第10个方程如下：
?0.5???20.5???0.520.5????m9??0.3613?????m2=10???? ?m??1.5??11???此方程组为3*3的下三角方程，先计算出m9=0.7225.依次求出m10=1.1100，
m11
=-2.16125.综上可求出三次样条函数为
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??16.052x3?35.9426x2?19.89x?2:0?x?1?326.878x?32.849x?48.9019x?20.9306;1?x?2???5.9593x3?44.174x2?105.1495x?0.4187;2?x?3?32?5.4593x?58.593x?203.1579x?226.5359;3?x?4??0.3780x3?11.4545x2?77.0335x?147.0526;4?x?5?32??6.9474x?109.9952x?569.7368x?968.2249;5?x?6?8.1675x3?162.0718x2?1062.7x?2296.6;6?x?7???4.2225x3?98.1172x2?758.6579x?1953.2;7?x?8?S(x)??2.2225x3?56.5622x2?478.7775x?1346.7;8?x?9??2.1675x3?61.9665x2?587,9809x?1853.6;9?x?10??0.9474x3?31.4785x2?285.3206x?955.4689;10?x?11??????? ???
3 对三次样条函数空间的研究
4 设[a,b]由一个分割?：a?x1?x2?...?xi?1?b。用S?=(k,m)为关于?，[a,b]上3次样条函数}称为3样条函数空间。
4 显然，S?是一个线性空间，且3次样条函数
S(x)?Si(x)?ai?bi(x?xi)?ci(x?xi)2?di(x?xi)3x?[xi,xi?1],(i?1,2,...,i)由i段
“装配“，每段由4个参数唯一确定，所以共有4i个自由参数。
/// 又由要求3次样条函数S(x)，及S(x),S(x)在xi(i?2,...,i)连续，即有3(i?1)个
44约束条件。所以，3次样条函数空间S?最多有4i?3(i?1)?i?3个自由参数，也就是说S?维数最多有i?3。
4定理1 设函数集合?1?{1,x,x,x,(x?x2)?,...,(x?xi)?}则?1为S?空间中的一组基
2333a?x?b。
4证明 显然?1中任一函数?S?，且?1中共有i?3个函数，其中x2,...,xi为内点，剩下只
要证明?1中i?3个函数于线性无关即可。 事实上，如果存在ai，bi使
?ax??b(x?x)jjjj?0j?23i3j??0,x?[a,b]（1）
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1） 对于x?[a,x2]时，则（1）式为
i?axjj?03j?0,x?[a,x2]于是，aj?0，(j?0,1,2,3)
这时，（1）式为
?b(x?x)jj?23j??0,x?[a,b]
?0 （2）对于x?[x2,x3]时，则（1）式为b2(x?x2)3??0,x?[x2,x3]由此，b2(3) 同理，可得bi?0,(j?2,...,i)。
44i?3维线性空间。于是，对任一S(x)?S?定理2 三次样条函数空间S?，则有
3iS(x)=?ajx??aj?2(x?xj)3?
jj?0j?24 二次B样条函数与三次B样条函数
设有节点序列{ti}：{ti}:t1?t2?...?tn?k，可由分割?节点扩展得到：
t1?t2?...?tk?x1?x2?...?xi?xi?1?tn?1?...?tn?k且tk?1?x2，tk?2?x3，...，
k维数。 tn?tk?i?1?xi 其中n?k?i?1为k-1次样条函数空间S?定义（B样条函数）
设有节点序列{ti}n?k，称函数Bi,k(x)?(ti?k?ti)[ti,ti?1,...,ti?k](t?x)?为关于节点序列{ti}的第i个k-1次B样条函数。 下面介绍B样条函数性质。
性质1 B样条正性与局部支持性。即Bi,k(x)?证明 首先证明Bi,k(x)=0，当x?[ti,ti?k]。
k?1?(t?x),t?x?1由于Bi,k(x)=?(ti?k?ti)[ti,ti?1,...,ti?k]f(t)其中f(t)?(t?x)k ????0,t?xk?1??0,x?[ti,ti?k]
?0,x?(t,t)ii?k?当x?[ti,ti?k]时，则f(t)在[ti,ti?k]上是一个k-1次多项式，故k阶差商
[ti,ti?1,...t?,i性
质
kf](t)=0，所以Bi,k(x)=0，当x?[ti,ti?k]。
B
样
条
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数
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