发布时间 : 星期三 文章平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解（第7讲 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数）更新完毕开始阅读8224b1c3b52acfc788ebc9a3
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别为AC?0.5，MC?0.5。
（2）当K?10时，厂商的生产函数为：
?10L 0?L?5 q??50 L?5?因此厂商的成本函数为（如图7-1所示）：
图7-1 总成本，边际成本和平均成本曲线
0?q?50?0.3q?10STC??
任意不小于25的数 q?50?相应的边际成本和平均成本为：
0?q?50?0.3 SMC????? q?50 0?q?50?0.3?10qSAC??
任意不小于0.5的数 q?50?总成本，边际成本和平均成本曲线如图7-1所示。
所以第10个单位的产品边际成本为0.3，第50个单位的产品边际成本为??。由于在固定投入K的限制下，厂商的产量上限就是50，第100个单位的产品边际成本不存在。
8．假定某厂商的生产函数是q?2KL。在短期，厂商的资本装备数量固定为K?100。
K的租金价格为v?1元，L的工资率为w?4元。
（1）计算厂商的短期总成本曲线及短期平均成本曲线。 （2）厂商的短期边际成本函数是什么？如果生产25个曲棍球棒，则厂商的STC、SATC与SMC是什么？若生产数量分别为50、100、200时，这些曲线是什么样的？
（3）画出厂商的SATC与SMC曲线，标出（2）中所求得的点。
（4）SMC曲线与SATC曲线在何处相交？解释为什么SMC曲线将通常交于SATC线的最低点。
解：（1）短期内，固定投入的数量为K?100，所以厂商的生产函数为：q?20L。
q2?q?所以厂商的短期总成本为STC?q??100????4?100?；
100?20?2985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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相应的短期平均成本为SAC?q??（2）短期边际成本为SMC?q??100q。 ?q100q，由此可知，当厂商的产量分别为25个、50个、10050个、200个时，短期总成本分别为106.25元、125元、200元、500元，短期边际成本分别为0.5、1、2、4，短期平均成本分别为4.25元、2.5元、2元、2.5元。
（3）如图7-2所示。
图7-2 短期总成本和短期平均成本曲线
（4）SMC与SATC相交于SATC曲线的最低处。当多生产一单位的产品所增加的成本低于平均成本时，平均成本下降；当多生产一单位的产品所增加的成本高于平均成本时，平均成本上升。因此，当多生产一单位的产品所增加的成本等于平均成本时，平均成本最低。
9．一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品。每个工厂生产相同产品而且每个工厂的生产函数都是q?KiLi（i?1，2）。每个工厂在各自拥有的资本存量方面却不同。工厂1拥有K1?25，工厂2拥有K2?100。K与L的租金价格由w?v?1元给出。 （1）如果该企业家试图使短期生产总成本最小，则产出应如何在两个厂间分配？
（2）给定在两个工厂间的最优产量分配，计算短期总成本、平均成本与边际成本曲线。产量为100、125与200时的边际成本是多少？
（3）在长期，应如何在两个工厂间分配产量？计算长期总成本、平均成本与边际成本曲线。
（4）如果两个厂商呈现规模报酬递减，则（3）将会有什么变化？ 解：（1）短期内，每个工厂的固定投入的数量是确定的，所以它们的生产函数就变为：
q1?5L1 q2?10L2
于是两个工厂各自的短期成本函数分别为：
q12STC1?q1??25?
252q2 STC2?q2??100?100工厂1边际成本为SMC1?q1??2q1； 25985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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工厂2边际成本为SMC2?q1??q2。 25由等边际法则SMC1?q1??SMC2?q2?，即有：
2q1q2 ?2550解得：q1?q2，即产量在两个工厂之间分配的比例为1∶4。设总产量为Q，则工厂114产量为Q，工厂2产量为Q。
5514（2）把q1?q2代入成本最小化问题的预算约束中，解得q1?0.2q，q2?0.8q，把它们代入成本最小化问题的目标函数式中就得到了该企业的短期总成本函数：
q3?1??4?STC?STC1?q??STC2?q??125?3
5?5??5?14短期平均成本函数为：
?1??4?125qSATC?SATC1?q??SATC2?q???
q53?5??5?短期边际成本函数为：
?1??4?2qSMC?SMC1?q??SMC2?q??3
?5??5?5所以当q?100时，STC?205，SATC?2.05，SAC?1.6；
当q?125时，STC?250，SATC?2，SAC?2；
当q?200时，STC?445，SATC?2.225，SAC?3.2。
（3）长期内，由于两个工厂的生产函数相同，那么对于每一个单独的工厂而言，其成本最小化问题是：
minvK?wLK，L1212
s?t?q?KL利用拉格朗日乘数法解得资本和劳动力的要素需求函数为：
?w?K?q??
?v??v?2L?q??
?w?112把要素需求函数代入目标函数式中得到单个工厂的长期成本函数：
LTC?q?wv?1/2?q
这样企业的成本最小化问题就是：
minq1?q2q1，q2s?t?q1?q2?q
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易见，长期内无论在两个工厂之间如何分配产量，都不会影响企业的总成本，所以企业的长期成本函数为LTC?2q，相应的长期边际成本和长期平均成本分别为LATC?LMC?2。
（4）如果两个工厂的生产技术表现出规模报酬递减，那么厂商的产量分配标准是使得每个工厂生产的最后一单位产品的边际成本相同，即MC1?q1??MC2?q2?。特别地，由于本题假设两个工厂的生产函数相同，所以最优的产量分配方案是每个工厂生产相同的产量，即：
q1?q2?1q 2
10．假定某厂商的生产函数是q?2KL，而资本投入在短期固定为K。 （1）计算厂商的总成本为q、w、v与K的函数。
（2）给定q、w与v，在长期中，资本投入应如何加以选择以使成本最小化？ （3）用你在（2）中求得的结果去计算曲棍球棒生产的长期总成本。
（4）对于w?4美元，试画出曲棍球棒生产的长期总成本曲线。运用K?100、v?1美元，
K?200与K?400证明它是由（1）所计算出的短期成本曲线的包络线。
解：（1）短期内生产资料的数量固定，所以由厂商的生产函数解得L?总成本函数为：
STCv,w,q,K?vK?wL?vK?wq24K，于是短期
??q24K
（2）厂商的长期成本最小化问题可以描述为：
minSTC?v,w,q,K?
K把STC的表达式代入，求导，并令导数等于零，解得：
K?qw ① 2v111qq22wv?wv?qwv??????2 22（3）把①式代入短期总成本函数的表达式中，就得到了长期总成本函数：
LTC?v,w,q??（4）当w?4美元，v?1美元时，长期总成本函数为LTC?q??2q。而当K?100时，短q2期总成本函数为STC?100?。
100①由LTC?q??STC?q?解得q?100，这说明长期总成本曲线和短期总成本曲线只有惟一的交点。
②当q?100时，LMC?SMC?2，所以长期总成本曲线和短期总成本曲线的交点也是它们惟一的切点。
③对任意的q?0，LMC?SMC，这说明短期总成本曲线总是位于长期总成本曲线之上。 以上三条结论对K?200和K?400也成立，这就说明长期总成本曲线是短期总成本曲线的包络线，如图7-3所示。
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