发布时间 : 星期二 文章平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解（第7讲 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数）更新完毕开始阅读8224b1c3b52acfc788ebc9a3
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平新乔《微观经济学十八讲》第7讲 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函
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1．已知生产函数为f?x1,x2??0.5lnx1?0.5lnx2，求利润函数??w1,w2,p?，并用两种方法求供给函数y?w1,w2,p?。
解：（1）由已知可得，厂商的利润函数为：
??pf?w1x1?w2x2?0.5plnx1?0.5plnx2?w1x1?w2x2 利润最大化的一阶条件为：
??p??w1?0 ?x12x1??p??w2?0 ?x22x2解得：x1?pp，x2?。 2w12w2plnp2?ln4w1x1??p ?2把x1和x2的表达式代入目标函数式中就得到了利润函数：
??w1,w2,p??（2）方法一：根据霍太林引理：
y?w1,w2,p?????w1,w2,p??p
可知厂商的供给函数为：
y?w1,w2,p?????w1,w2,p??p?1lnp2?ln4w1w2? ?2方法二：把x1和x2的表达式代入厂商的生产函数f?x1,x2??0.5lnx1?0.5lnx2中，也可以得到供给函数：
y?w1,w2,p??1lnp2?ln4w1w2? ?2
2．已知成本函数为C?Q??Q2?5Q?4，求竞争性厂商供给函数S?p?与利润函数??p?。 解：厂商关于产量Q的利润函数为：
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??Q??pQ?C?Q??pQ?Q2?5Q?4
利润最大化的一阶条件为：
d??p?2Q?5?0 dQ解得厂商的供给函数为：
S?p??Q?p?5 2把S?p??Q?p?5代入??Q?中，就得到了利润函数： 2??p??
3．下列说法对吗？为什么？
?p?5?42?4
函数??p??p0.5可以成为—个利润函数。
答：（1）题中说法不对。
（2）因为利润函数关于产品价格和要素价格是一次齐次函数，即对任意的t?0，都有???tp,tw1,tw2??t??p,w1,w2?。
对于函数??p??p0.5，有??tp??t0.5p0.5?tp0.5?t?p??，可知该利润关于价格不是一次齐
次的，因此该函数不可以成为一个利润函数。
4．在一篇著名的论文里（J.Viner：“Cost Curves and Supply Curves”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3（September 1931）：23-46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SATC曲线，并令其与U型AC线的切点也分别是每一条SATC线的最低点。绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。在这一辩论中，你将支持哪一方？
答：在这一辩论中，我会支持绘图员一方。理由如下：
假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线SATCi，其中i?1，2，…，n，使得它们和U型的长期平均成本线AC分别相切于点xi，而且切点是SATCi的最低点。如果xi不是AC线的最低点，那么过该点作SATCi的切线li，它应该是一条水平的直线。同时过xi点作AC线的切线Li，由于xi不是AC线的最低点，所以Li必定不是水平的。可是SATCi和AC相切于点xi却意味着li和Li是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。因此，如果xi不是AC线的最低点，那么它必然不是SATCi的最低点。但是，如果xi是AC线的最低点，那么它也是SATCi的最低点。
5．施教授与纪教授将出版一本新的初级教科书。作为真正的科学家，他们提供了写作本书的生产函数如下：
q?S1/2J1/2
其中q是完成本书的页码数，S为施教授将要支出的工作时间（小时）数，J为纪教授花费的工作小时数。施教授认为其每小时工作价值为3美元，他花费了900小时准备初稿。985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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纪教授的每小时工作价值为12美元，并将修改施教授的初稿以完成此书。
（1）纪教授必须耗费多少小时，以完成一本具有下列页数的书：150页？360页？450页？
（2）一本150页的成书的边际成本是多少？300页的书的边际成本是多少？450页的书的边际成本是多少？
解：（1）由于施教授已经花费了900个小时准备初稿，所以生产函数就变为：
q?30J1/2
这样本问题就变成了求解下面三个方程：
150?30J11/2，360?30J21/2，450?30J31/2
解得J1?25小时，J2?144小时，J3?225小时。 （2）生产书的成本函数为：
q2?q? c?q??900?3????12?2700?75?30?22q。把q?150、q?300、q?450分别代入边际成本的表达式75得到：MC1?4，MC2?8，MC3?12。
相应的边际成本MC?
6．假定厂商生产函数为柯布一道格拉斯生产函数，有
q?K?L?
（其中?,??0。）厂商可以在竞争性投入市场购买租金价格分别为v与w的任意数量的
K与L。
（1）证明成本最小化要求
vK/??wL/?
该厂商的扩张线的形状是什么？
（2）假定成本最小化，证明总成本可以表示为下述的关于q，v与w的函数
TC?Bq1/???w?/?? ?v?/???
这里，B是依赖于?与?的常量。提示：这部分可通过运用（1）中的结果去计算TC作为L的函数，以及TC作为K的函数并代入到生产函数中去。
（3）证明如果????1，则TC与q成比例。
证明：（1）厂商的成本最小化问题为：
maxvK?wLK，Ls?t?q?KL??
建立拉格朗日函数：
??L,K,???vK?wL???q?K?L??
拉格朗日函数分别对K、L和?求导，就得到：
???q?v???0 ① ?KK985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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???q?w???0 ② ?LL???q?K?L??0 ③ ??从①式和②式中消去?就得到：
vwK?L ④ ??生产扩张线是指在技术水平和投入要素价格不变的条件下，由投入总成本的变化而引起
的最优要素比例的变动的轨迹。在本题中，由于最优的要素组合满足④式，从而得到
?wK?L，这说明生产扩张线是一条经过原点的射线。
v?（2）从④式中解出K关于L的表达式后，代入③式中，就可以解出K的表达式：
K?q1??????w???? ⑤ ???v??把⑤式代入④式中，就有：
L?q1?????v?????w????? ⑥
把⑤、⑥两式代入目标函数式中，就得到了总成本函数：
1TC?Bq???w????v????
???其中B???????????????????????。
（3）如果????1，那么总成本的表达式就变为TC?Bv?w?q，即TC和q成比例。
7．假定厂商固定要素比例的生产函数为q?min?5K,10L?。资本与劳动的租金价格分别为v?1，w?3。
（1）计算厂商的长期总成本、平均成本与边际成本。
（2）假定K在短期内固定为10，计算厂商的短期总成本、平均成本与边际成本。第10单位的边际成本是多少？第50单位呢？第100单位呢？
解：（1）由生产函数的形式q?min?5K,10L?可以知道，两种生产要素是互补的。 厂商的成本最小化问题为：
minK?3LK，Ls?t?min?5K,10L??q
qq，L?。把这两个式子510对于最优的K和L，必有5K?10L?q成立，从中解得K?代入目标函数式中，得到成本函数LTC?q??0.5q，相应的平均成本函数和边际成本函数分985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解