发布时间 : 星期六 文章2021届高考数学(理)一轮复习学案：第9章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆更新完毕开始阅读821b6dbe6a0203d8ce2f0066f5335a8103d26665
第2课时 直线与椭圆
考点1 直线与椭圆的位置关系
研究直线与椭圆位置关系的方法
直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或
y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，
①Δ＞0?直线与椭圆相交． ②Δ＝0?直线与椭圆相切． ③Δ＜0?直线与椭圆相离．
x2y2
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
5mA．m＞1 C．0＜m＜5且m≠1
D [∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
B．m＞0 D．m≥1且m≠5
x2y2
∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，
5m01
只需＋≤1，
5m即m≥1， 又m≠5，
故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
42(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
2
2
x2y2
y＝2x＋m， ①??22
[解] 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组?xy＋＝1， ②??42
将①代入②，整理得9x＋8mx＋2m－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)－4×9×(2m－4)＝－8m＋144.
2
2
2
2
2
(1)当Δ＞0，即－32＜m＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同
的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－32或m＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成
的方程组解的个数； (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点2 弦长及中点弦问题
中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方
根与系数
程组，化为一元二次方程后由根与系
的关系
数的关系求解即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1
y1－y2
三个未知量，这 点差法 ＋x2，y1＋y2，
x1－x2
样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率 ( )
A．4x＋3y－13＝0 C．4x－3y＋5＝0
B．3x＋4y－13＝0 D．3x－4y＋5＝0
(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是
164
x2y2
(2)[一题多解](2019·惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．
(1)B (2)＋＝1 [(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
812
x2y2
??16＋4＝1， ①
由题意得?xy??16＋4＝1， ②
2
2
22
x212
y1
＋
①－②得
x1＋x2
16
x1－x2y1＋y2
4
y1－y2
＝0，
又P(3,1)是AB的中点． ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝
y2－y13
＝－. x2－x14
3
故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，
4即3x＋4y－13＝0，故选B.
x2
(2)法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆方程为2＋2
b＋4byx??2＋2＝1，
＝1(b>0)，由?b＋4b??y＝3x＋7
2
2
2
2
2
y2
消去x，
得(10b＋4)y－14(b＋4)y－9b＋13b＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知
42
y1＋y2
2
＝1，
2
14b＋42
∴y1＋y2＝＝2，解得b＝8. 2
10b＋4∴所求椭圆方程为＋＝1.
812
x2y2
x2
法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆的方程为2＋2＝
b＋4b1(b>0)．
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y2
??则?yx＋??b＋4b＝1，②
222
222
x21
＋2＝1，①2
b＋4by21
①－②得
y1－y2y1＋y2x1－x2x1＋x2
＋＝0，
b2＋4b2y1－y2y1＋y2b2＋4
即·＝－2， x1－x2x1＋x2b又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
y1－y22×1b2＋42k＝＝3，代入上式得3×＝－2，解得b＝8，故所求的椭圆方程为x1－x22×－2bx2
8
＋＝1.] 12
“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆
y2
锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
y1－y2
三个未知量，这样就直接联系x1－x2
b2
提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－2，
ab2x0
即kAB＝－2比较方便快捷，
ay0
其中点M的坐标为(x0，y0)．
[教师备选例题]
已知椭圆＋y＝1.
2
(1)若过A(2,1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
x2
2
?11?(2)求过点P?，?且被P点平分的弦所在直线的方程． ?22?
[解] (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2
＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
??2＋y＝1，①?x??2＋y＝1，②
2
1
22
22
x21
2
①－②得
y2－y1x2＋x1xxy－1
＝－＝－，所以－＝， x2－x12y2＋y12y2yx－2
x2
2
化简得x－2x＋2y－2y＝0(包含在椭圆＋y＝1内部的部分)．
2
2
x1
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
2y2
11?1?
因此所求直线方程是y－＝－?x－?，
22?2?化简得2x＋4y－3＝0.
1.(2019·江西五市联考)已知直线y＝1－x与双曲线ax＋by＝1(a>0，b<0)
3a的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－2，则b的值为( )
A．－3 2
23B．－
323D．－
27
2
2
2
2
2
2
93C．－
2
A [由双曲线ax＋by＝1知其渐近线方程为ax＋by＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，