发布时间 : 星期二 文章2016年高考四川理科数学试题及答案(word解析版)更新完毕开始阅读8209ec597a3e0912a21614791711cc7931b7780c
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同理可得纵坐标为?y，故A''???x,?y?． 错误；
?π?π????②设单位圆上点P坐标为?cos?,sin??，则P伴随点坐标为P'??sin?,?cos????cos????,sin?????
2?2?????π所以P'也在单位圆上，即：P'点是P点延顺时针方向旋转． 正确；
2③设曲线C上点A的坐标?x,y?，其关于x轴对称的点A1??x,?y?也在曲线C上，所以点A的伴随点??y?y?x??x?y轴对称。正确； A'??2,A'?,A，点的伴随点?2111'关于222?，A'与A222??x?yx?y??x?yx?y?④反例：例如y?1这条直线，则A??0,1?,B??1,1?,C??2,1?，而这三个点的伴随点分别是A'??1,0?， ?11??12?B'??,??,C'??,??，而这三个点不在同一直线上．下面给出严格证明：设点P(x,y)在直线
?22??55??y0y??x?x???0x2?y2x02?y02??l:Ax?By?C?0，P点的伴随点为P'??x0,y0?，则?，解得?．
?xx0?y??y?0222??x?yx0?y02???y0x0A?B?C?0，化简得：?Ay0?Bx0?C(x02?y02)?0， 带入直线方程可知：2222x0?y0x0?y0当C?0时，C(x02?y02)是一个常数，P'的轨迹是一条直线；当C?0时，C(x02?y02)不是一个常
数，P'的轨迹不是一条直线．所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线． 错误．
【点评】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能
力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．
三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤． （16）【2016年四川，理16，12分】我国是世界上严重缺水的国家，某市政
府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费． 为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人
数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由． 解：（1）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∵频率=(频率/组距)*组距， ∴0.5??0.08?0.16?0.4?0.52?0.12?0.08?0.04?2a??1，得a?0.3． （2）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5??0.12?0.08?0.04?=12%，
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：30?12%=3.6(万)．
（3）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：0.5??0.08?0.16?0.3?0.4?0.52??0.73
即73%的居民月均用水量小于2.5吨，同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.5?x?3，
?85%?73%??0.5假设月均用水量平均分布，则x?2.5?0.5??2.9（吨）．
0.3 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差．
【点评】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能
力．在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．
cosAcosBsinC（17）【2016年四川，理17，12分】在?ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． ??abc。
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（1）证明：sinAsinB?sinC；
6（2）若b2?c2?a2?bc，求tanB．
5abccosAcosBsinC?????1，∵A和B为三角形内 解：（1）由正弦定理，可知原式可以化解为sinAsinBsinCsinAsinBsinC角 ，∴sinAsinB?0，则两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosA?sinAcosB?sinAsinB， 由和角公式可知，sinBcosA?sinAcosB?sin?A?B??sin???C??sinC，原式得证．
6b2?c2?a23222?，（2）由题b?c?a?bc，根据余弦定理可知，cosA?∵A为为三角形内角，A??0,??，
52bc5cosA3cosAcosBsinCcosB114?3??，???1，??，sinA?0，则sinA?1????，即由（1）可知∴
sinA4sinAsinBsinCsinBtanB45?5? ∴tanB?4．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力．在解三
角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180?这个结论，否则难以得出结论．
（18）【2016年四川，理18，12分】如图，在四棱锥P?ABCD中，AD//BC，?ADC??PAB?90?，
1BC?CD?AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90?．
2（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM//平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P?CD?A的大小为45?，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值． 1解：（1）延长AB，交直线CD于点M，∵E为AD中点，∴AE?ED=AD，
21 ∵BC?CD=AD，∴ED?BC，∵AD//BC 即 ED//BC，
2 ∴四边形BCDE为平行四边形，BE//CD，∵ABICD?M，∴M?CD，
∴CM//BE，∵BE?面PBE，∴CM//面PBE，∵M?AB，AB?面PAB， ∴M?面PAB 故在面PAB上可找到一点M使得CM//面PBE． （2）解法1：过A作AF?EC交EC于点F，连结PF，过A作AG?PF交PF于点G，∵∠PAB?90o，PA
与CD所成角为90o，∴PA?AB，PA?CD，∵ABICD=M，∴PA?ABCD，∵EC?面ABCD， ∴PA?EC，∵EC?AF且AFIAP?A，∴CE?面PAF，∵AG?面PAF，∴AG?CE，
∵AG?PF且AGIAF?A，∴AG?面PFC，∴∠APF为所求PA与面PCE所成的角，∵PA?面 ABCD，∴∠PDA为二面角P?CD?A所成的平面角，由题意可得∠PDA=45o， ∠ADC=90o即AD?DC．而∠PAD=90o，∴PA?AD，∵BC?CD，四边形BCDE是平行四边形，∠ADM=90o，∴四边形BCDE
2是正方形，∴∠BEC?45o，∴∠AEF=∠BEC?45o，∵∠AFE?90o，∴AF=
2AE， 221ADAF2，∴sin∠APF=． ∴4tan∠APF==?3APAP4解法2：由已知，CD?PA，CD?AD，PAIAD?A，所以CD?平面PAD．于是CD?PD． 从而?PDA是二面角P?CD?A的平面角．所以?PDA?45?．由PA?AB，可得PA?平面ABCD．
uuuruuur设BC?1，则在Rt?PAD中，PA?AD?2．作Ay?AD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴， z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则A?0,0,0?，P?0,0,2?，C?2,1,0?，E?1,0,0?，
uuuruuuruuurz所以PE??1,0,?2?，EC??1,1,0?，AP??0,0,2?，设平面PCE的法向量为
Puuur??x?2z?0,?n?PE?0n??x,y,z?，由?uuu，得? 设x?2，解得n??2,?2,1?． rx?y?0,???n?EC?0y。
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uuurn?AP21设直线PA与平面PCE所成角为?，则sin???． uuur?n?AP2?22?(?2)2?123所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为
1 ． 3【点评】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力．证
明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．
（19）【2016年四川，理19，12分】已知数列?an?的首项为1，Sn为数列?an?的前n项和，Sn?1?qSn?1，其中
q?0，n?N*．
（1）若2a2,a3,a2?2成等差数列，求an的通项公式；
4n?3ny25（2）设双曲线x?2?1的离心率为en，且e2?，证明：e1?e2?????en?n?1．
an332解：（1）Sn?1?11?11?n?11?qn，，当n?2时，an?Sn?Sn?1?qn?1， ?q(Sn?)，Sn???1??Sn??qq?1q?1q?1?q?1?1?q故3q?2?2q2，又 q?0，则q?2，故an?2n?1．当n?1时也满足，故an?2n?1，∴an?2n?1,n?N*．
212?an（2）由双曲线的性质可知，en?12，由（1）可得，an为首项为1，公比为q的等比数列， =1?an44522, 故e2?1?a2?1?q?，即q?，∴?an?为首项为1，公比为的等比数列，
333?4?通项公式为an????3?n?14?，?n?N?，∴en?1?????3??2n?2?4?????3?n2n?2?4?????3?n?1
?4?1???2n?14?4?4?4n?3n3??? ∴e1?e2?e3?...?en?1?????...?????n?1，原式得证．
43?3?3?3?1?3【点评】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解
决问题的能力、计算能力．在第（1）问中，已知的是Sn的递推式，在与Sn的关系式中，经常用n?1代
换n（n?2），然后两式相减，可得an的递推式，利用这种方法解题时要注意a1；在第（2）问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的目的是为了求数列的和．另外放缩时要注意放缩的“度”．不能太大，否则得不到结果．
x2y2（20）【2016年四川，理20，13分】已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角
ab形的3个顶点，直线l:y??x?3与椭圆E有且只有一个公共点T． （1）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：
存在常数?，使得|PT|2??|PA|?|PB|，并求?的值．
解：（1）设短轴一端点为C?0,b?，左，右焦点分别为F1??c,0?，F2?c,0??c?0?，则c2?b2?a2．
x2y22 由题意，△F1F2C为直角三角形．∴|F1F2|?|F1C|?|F2C| 解得b?c?a，∴E:2?2?1．
2bb2l与椭圆E只有一个交点， 代入l:y??x?3可得 3x2?12x?18?2b2?0．则?=122?4?3(18?2b2)?0，、
x2y221?． ?1．由b2?3，解得x?2，则y??x?3?1，所以T的坐标为?2，解得b=3．∴E:?63?x?x0?2t1P(x,3?x)k?l'OTl'l（2）设，平行．得的参数方程为? 代入椭圆E得． 00在上，由OT2?y?3?x0?t222。
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tB则有tA?tB? (x0?2t)?2(3?x0?t)?6．整理可得 2t?4t?x?4x0?4?0．设两根为tA，
22220(x0?2)2． 2 而PT?2?(x0?2)2?(3?x0?1)2?2?2(x0?2)2，PA?5tA，PB?5tB．
故有PA?PB?PT2525tA?5tB?(x0?2)2．由题意PT??PA?PB．
22(x0?2)24?，故存在这样的?． ∴??PA?PB?552(x0?2)2【点评】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想．在涉
及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)，同时把直线方程与
椭圆方程联立，消元后，可得x1?x2,x1x2，再把PA?PB用x1,x2表示出来，并代入刚才的x1?x2,x1x2，
这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．
（21）【2016年四川，理21，14分】设函数f(x)?ax2?a?lnx，其中a?R．
（1）讨论f(x)的单调性；
11?x（2）确定a的所有可能取值，使得f(x)??e在区间(1,+?)内恒成立（e?2.718…为自然对数的底数）．
x12ax2?1,x?0 解：（1）由题意，f'?x??2ax??xx①当a?0时，2ax2?1?0，f'?x??0，f?x?在?0,???上单调递减． ?1??1??1?2a?x?x????????x?0,②当a?0时，时，f'?x??0； ??2a??2a?，当???2af'?x????x?1???1?1?f'?x??0．故f?x?在?0,,??,?? 当x??时，上单调递减，在?????2a????2a?上单调递增． 2a??????11?x（2）原不等式等价于f?x???e?0在x??1,???上恒成立．
x11?x11?x2一方面，令g?x??f?x???e?ax?lnx??e?a，只需g?x?在x??1,???上恒大于0即可．
xx111?x又∵g?1??0，故g'?x?在x?1处必大于等于0．令F?x??g'?x??2ax??2?e，g'?1??0，
xx111212x3?x?21?x1?x1?x?e， 可得a?．另一方面，当a?时，F'?x??2a?2?3?e?1?2?3?e?22xxxxx31∵x??1,???故x3?x?2?0，又e1?x?0，故F'?x?在a?时恒大于0．
21F?x?在x??1,???单调递增．∴当a?时，∴F?x??F?1??2a?1?0，故g?x?在x??1,???单调递增． 2∴g?x??g?1??0，即g?x?在x??1,???上恒大于0．
1综上，a?[,?)．
2【点评】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问
题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求f'(x)，解方程f'(x)?0，再通过f'(x)的正负确定f(x)的单调性；要证明函数不等式f(x)?g(x)，一般证明f(x)?g(x)的最小值大于0，为此要研究函数h(x)?f(x)?g(x)的单调性．本题中注意由于函数h(x)有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．
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