发布时间 : 星期一 文章信息论与编码习题参考答案(全)教材更新完毕开始阅读816f8c04370cba1aa8114431b90d6c85ec3a88a1
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信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源
1.1同时掷一对均匀的子，试求：
(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合的熵； (4)两个点数之和的熵；
(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。 解：
11样本空间：N?c6c6?6?6?36n12
??I(a)??logP1?log18?4.17bitN36n1(2)P2?2??I(a)??logP2?log36?5.17bitN36(1)P1?(3)信源空间：
X P(X) X P(x) X P(x) X P(x) X P(x) (1,1) 1/36 (2,2) 1/36 (3,3) 1/36 (4,4) 1/36 (5,5) 1/36 (1,2) 2/36 (2,3) 2/36 (3,4) 2/36 (4,5) 2/36 (5,6) 2/36 (1,3) 2/36 (2,4) 2/36 (3,5) 2/36 (4,6) 2/36 (1,4) 2/36 (2,5) 2/36 (3,6) 2/36 (6,6) 1/36 (1,5) 2/36 (2,6) 2/36 (1,6) 2/36 2361?log?6??log36?4.32bit 36236(4)信源空间： X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 ?H(x)?15??H(x)?2436636836?log36＋?log??log??log 36362363364 1036636 ??log＋?log?3.71bit365366(5) P3?
n31136??I(a)??logP3?log?1.17bit N3611?H.F.
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1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A和B，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa，Ya）, （Xb，Yb）,但A，B不能同时落入同一方格内。 （1） 若仅有质点A，求A落入任一方格的平均信息量； （2） 若已知A已落入，求B落入的平均信息量； （3） 若A，B是可辨认的，求A，B落入的平均信息量。 解：
1(1)?A落入任一格的概率:P(ai)??I(ai)??logP(ai)?log4848
?H(a)???P(ai)logP(ai)?log48?5.58biti?148(2)?在已知A落入任一格的情况下,B落入任一格的概率是:P(bi)??I(bi)??logP(bi)?log47?H(b)???P(bi)logP(bi)?log47?5.55biti?148147(3)AB同时落入某两格的概率是P(ABi)??I(ABi)??logP(ABi)48?47i?111?4847
H(ABi)???P(ABi)logP(ABi)?log(48?47)?11.14bit1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中各含有多少信息量？如果你问一位女士，则她的答案中含有多少平均信息量？ 解：
对于男士:回答“是”的信息量：I(my)??logP(my)??log7%?3.84bit回答“不是”的信息量：I(mn)??logP(mn)??log93%?0.105bit平均每个回答信息量：H(m)??P(my)?logP(my)?P(mn)?logP(mn) ?-7%?log7%-93%?log93%?0.366bit对于女：回答“是”的信息量：I(wy)??logP(wy)??log0.5%回答“不是”的信息量：I(mn)??logP(mn)??log99.5%平均每个回答信息量：H(m)??P(wy)?logP(wy)?P(wn)?logP(wn) ?-0.5%?log0.5%-99.5%?log99.5%?0.0454bit
?H.F.
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1.4某一无记忆信源的符号集为｛0，1｝，已知p0?13，p1?23 。（1） 求符号的平均信息量；
（2） 由1000个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”,（1000-m）个“1”）
的自信量的表达式；
（3） 计算（2）中序列的熵。 解：
1122（1）H(x)??p0logp0?p1logp1???log??log?0.918 bit/symble333312（2）I(A)??mlogp0?(1000?m)logp??mlog?(1000?m)log bit
33（3）H(A)?1000H(X)?1000?0.918?918 bit/sequence H(A)???p0logp0?i?1m1000?m?i?1p1logp1??m12(1000?m)2log?log33331.5设信源X的信源空间为：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ?X： [x?p]：?0.19 0.18 0.16 0.18 0.3 ?p(X) 0.17 求信源熵，并解释为什么H(X)>log6，不满足信源熵的极值性。
解：
H(X)???p(ai)logp(ai)i?16 ??0.17log0.17?0.19log0.19?2?0.18log0.18?0.16log0.16?0.3log0.3 ?2.725 bit/symble 可见H(X)?2.725?log6?2.585 不满足信源熵的极值性， 这是因为信源熵的最大值是在?pi?1 的约束条件下求得的，但是本题中i?1r
?pi?16i?1.18不满足信源熵最大值成立的约束条件，所以H(X)?log6。
1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率（bit/s）。 解：
由于亮度电平等概出现，由熵的极值性：每个像素的熵是： H(x0)??p(ai)logp(ai)?log10?3.322 bit/pelsi?110每帧图像的熵是： H(X)?5?105?H(x0)?5?105?3.322?1.661?106 bit/frame?所需信息速率为：R?r(frame/s)?H(X)(bit/frame)?30?1.661?106?4.983?107 bit/s
?H.F.
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1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大2.5倍左右。 证:
增加30个不同色彩度,在满足黑白电视系统要求下,每个色彩度需要10个亮度,所以每个像素需要用30?10?300bit量化?每个像素的熵是： H(x1)??p(bi)logp(bi)?log300bit/pelsi?1300?H(x1)log300??2.477?2.5H(x0)log10
?彩色电视系统每个像素信息量比黑白电视系统大2.5倍作用,所以传输相同的图形,彩色电视系统信息率要比黑白电视系统高2.5倍左右.1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？ 解:
每帧图象所含信息量:H(X)?3?105?H(x)?3?105?log128?2.1?106bit/symble1000?0.110000?每个汉字所包含信息量:H(c)??logp每个汉字所出现概率p?描述一帧图像需要汉字数n,H(X)?nH(c)H(X)2.1?106n???6.322?105/frameH(c)?log0.1?最少需要6.322?105个汉字
1.9给定一个概率分布(p1,p2,...,pn)和一个整数m，0?m?n。定义qm?1??p，证明：
ii?1mH(p1,p2,...,pn)?H(p1,p2,...,pm,qm)?qmlog(n?m)。并说明等式何时成立？
证：
先证明f(x)??xlogx(x?0)为凸函数，如下：loge?f??(x)?(?xlogx)???? 又x?0x
loge?f??(x)?(?xlogx)?????0 即f(x)??xlogx(x?0)为凸函数。 x又?H(p1,p2,...,pn)???pilogpi?i?1mi?m?1?plogpini?H.F.