发布时间 : 星期三 文章【人教版】2020高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析(1)学案 苏教版选修1-2更新完毕开始阅读812eb90dce1755270722192e453610661ed95a88
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∴∴
f(a＋1)
＝f(1)＝2. f(a)
f(2)f(3)f(2015)
＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2×2014＝4028. f(1)f(2)f(2014)
1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．
2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向．
一、基础达标
1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．
答案 31
解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列a1＝6，
d＝5，∴a6＝6＋(6－1)×5＝31.
11111131111115
2．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…
2232372231523312
由此猜测第n个等式为________________________________________________________________________(n∈N)． 111n答案 1＋＋＋…＋n>
232－12
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n＋1.则此数列的前4项分别为a1＝________，a2＝________，a3＝________，
2
*
a4＝________.据此猜测，数列{an}的通项公式为an＝______________________.
??2，n＝1
答案 2 3 5 7 ?
??2n－1，n≥2
4．正方形ABCD中，对角线AC⊥BD.运用类比的方法，猜想正方体ABCD－A1B1C1D1中，相关结论：______________________. 答案 对角面AA1C1C⊥面BB1D1D
1
5．如果函数f(x)是奇函数，那么f(0)＝0.因为函数f(x)＝是奇函数，所以f(0)＝0.这段演绎推理错误的原因是
x__________________． 答案 大前提错误
6．已知△ABC中，AD⊥BC于D，三边是a，b，c，则有a＝ccosB＋bcosC；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P－ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角P－AB－C，P－BC－A，
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P－AC－B的度数分别是α，β，γ，则S＝__________________________.
答案 S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ
7．已知等式：3tan30°·tan30°＋tan30°＋tan30°＝3， 3tan20°·tan40°＋tan20°＋tan40°＝3， 3tan15°·tan45°＋tan15°＋tan45°＝3. 据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想． 解 猜想：3tanα·tanβ＋tanα＋tanβ＝3， 其中α＋β＝60°.
tanα＋tanβ
证明：∵tan(α＋β)＝，
1－tanα·tanβtanα＋tanβ
即3＝.
1－tanα·tanβ
整理，得3tanα·tanβ＋tanα＋tanβ＝3. 二、能力提升
8．已知等式：(tan5°＋1)(tan40°＋1)＝2；(tan15°＋1)·(tan30°＋1)＝2；(tan25°＋1)(tan20°＋1)＝2. 据此可猜想出一个一般性命题：
________________________________________________________________________. 答案 (tanα＋1)[tan(45°－α)＋1]＝2
9．设M是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意s>0，t>0，都有f(s)＋f(t) f2(x)＝2x－1.下列判断正确的是________． ①f1(x)∈M；②f1(x)?M；③f2(x)∈M；④f2(x)?M. 答案 ②③ 解析 对于f1(x)＝log2x；log22＋log24>log2(2＋4)，所以f1(x)?M.对于f2(x)＝2－1：2－1＋2－1－(2－(2－1)(2－1)<0，f2(x)∈M. stxsts＋t－1)＝ x2y210．已知命题：平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在椭圆2＋2＝1(m>n>0，p＝m2－n2) mnsinA＋sinC1 上，椭圆的离心率是e，则＝. sinBe将该命题类比到双曲线中，给出一个命题： ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. x2y222答案 平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线2－2＝1(m，n>0，p＝m＋n) mn|sinA－sinC|1 上，双曲线的离心率为e，则＝ sinBe11．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5. (1)求数列{an}的前n项和Sn； ※ 推 荐 ※ 下 载 ※ ※ 精 品 ※ 试 卷 ※ (2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律． 解 (1)∵a1＝5，d＝2， ∴Sn＝5n＋ n(n－1) 2 ×2＝n(n＋4)． 2 (2)∵Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n＋n. ∴T1＝5，T2＝4×2＋2＝18，T3＝4×3＋3＝39， 2 2 T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105. S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21， S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S1＝T1，当2≤n≤5，n∈N时，Sn 归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn 12．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论． 解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高． 证明如下：设P为正三棱锥A－BCD底面上任一点，点P到平面ABC，ACD，ABD的距离分别为h1，h2，h3，以侧面 ABC为底时对应的高为h，则： VP－ABC＋VP－ACD＋VP－ABD＝VD－ABC. 111 即：S△ABC·h1＋S△ACD·h2＋S△ABD·h3 3331 ＝S△ABC·h. 3 ∵S△ABC＝S△ACD＝S△ABD， ∴h1＋h2＋h3＝h，此即要证的结论． 三、探究与创新 13．记Sn为数列{an}的前n项和，给出两个数列： (Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，… (Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，… (1)对于数列(Ⅰ)，计算S1，S2，S4，S5；对于数列(Ⅱ)，计算S1，S3，S5，S7； (2)根据上述结果，对于存在正整数k，满足ak＋ak＋1＝0的这一类等差数列{an}的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明． 解 (1)对于数列(Ⅰ)，S1＝S5＝5，S2＝S4＝8；对于数列(Ⅱ)，S1＝S7＝－14，S3＝S5＝－30. ※ 推 荐 ※ 下 载 ※ ※ 精 品 ※ 试 卷 ※ (2)对于等差数列{an}，当ak＋ak＋1＝0时，猜想Sn＝S2k－n(n≤2k，n，k∈N)． 下面给出证明：设等差数列{an}的前项为a1，公差为d. ∵ak＋ak＋1＝0，∴a1＋(k－1)d＋a1＋kd＝0， ∴2a1＝(1－2k)d. (2k－n)(2k－n－1)n(n－1) 又S2k－n－Sn＝(2k－n)a1＋d－na1－d 22 (2k－n)(2k－n－1)n(n－1) ＝[(k－n)(1－2k)＋－]d＝0.∴S2k－n＝Sn，猜想正确． 22 * ※ 推 荐 ※ 下 载 ※