发布时间 : 星期一 文章高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步更新完毕开始阅读8121dbc2876fb84ae45c3b3567ec102de3bddf7b
第一讲 整除问题初步
从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论． 什么是数论呢？
人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．
确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．
我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．
数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”．
一、
整除的定义
如果整数a除以整数b（b?0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a． 如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a． 二、
整除的一些基本性质：
1． 尾数判断法
（1） 能被2，5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除． （2）能被4，25整除的数的特征：末两位能被4或25整除． （3）能被8，125整除的数的特征：末三位能被8或125整除． 2． 数字求和法
能被3，9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除． 3． 奇偶位求差法
能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除． ．．．．．．我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．
下面我们来看一下如何运用这些性质．
例题1. 判断下面11个数的整除性：
23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407 （1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ （3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ （4）哪些数能被11整除？
【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．
练习1. 在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，
哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？
如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：
和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，那它们的和与差也都能被a整除．
例题2. 173是一个四位数．文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3
个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？
【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析．需要分别用到9、11和8的整除特性．
练习2. 在235整除．
上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决．
例题3. 牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸破了
两个洞，上面只剩下“67的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、
8”，其中方框表示破了的洞．牛叔叔记得每名工人的工
资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到45?5?9，于是67先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？
练习3. 四位数3
8应该能同时被5和9整除，那么
3能被36整除，那么这个四位数可能是多少？
在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45?5?9 ，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．
请同学们注意，虽然45?3?15 ，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？
例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话．服务人员告诉他，目前只有形如
“123468”的号码可以申请．也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以
随意选择，而其余数字不得改动．王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？
【分析】要被8整除，说明号码的后三位6唯一的吗？
练习4. 七位数22
有时候满足题目条件的答案会非常多．如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可．
例题5. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？ 【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、…．如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？
8是8的倍数．想一下，这样的三位数是
333能被44整除，那么这个七位数是多少？
例题6. 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多
少？
【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数．那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？