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人教B版选修2-2知识点总结
一、知识网络图： 导数 导数实际背景 导数定义 导函数 导数公式 四则运算法则 求导 导数的应用 单调区间 曲线的切线 推理与证明 推理 证明 演绎 合情 反数 证学法 归纳 法 类比 归纳 微积分 定积分 导数几何意义 定积分概念 微积分基本定曲边图形面积 求定积分 复合函数求导法则 极（最）值 复数 概念 运算 综合法分析法代数定义几何定义加减法加减法 第 1 页 共 6 页
二、导数及其应用：
第一章《导数及其应用》包括导数和定积分两部分内容。而导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们是研究函数和解决众多实际问题的重要工具。
①平均变化率：一般地，已知函数y?f?x?,x0,x1是其定义域内不同的两点，记：
?x?x1?x0；?y?y1?y2?f?x1??f?x0??f?x0??x??f?x0?【?x,?y可正可负，?y可以为0，但?x?0】，则当?x?0时，商
?yf?x0??x??f?x0??称作函数y?f?x?在
?x?x区间[x0,x0??x]【或[x0??x,x0]】的平均变化率。
②瞬时变化率：一般地，已知函数y?f?x?在x0及其附近有定义，当自变量在x?x0附近改变量为?x时，函数值相应地改变?y?f?x0??x??f?x0?，如果当?x趋近于0时，平均变化率
?yf?x0??x??f?x0??趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f?x?在点x0的
?x?x瞬时变化率。
③导函数（导数）：可以理解为区间I上平均变化率的极限。即：
?yf?x??x??f?x??lim?f'?x?,x?I。
?x?0?x?x?0?xlimf?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?。
?x?0?x?x?0?xlim④在某点的导函数：可理解为在x0的瞬时变化率。即：
⑤导数的几何意义：函数y?f?x?在点x0处导数的几何意义就是曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处切线的斜率。即：lim?x?0f?x0??x??f?x0??f'?x0??切线AD的斜率。
?x⑥基本初等函数的导数公式表： y?f?x? y?C y'?f'?x? y'?0 y?x? y?ax y'??x??1 y'?axlogea?axlna y'?11logae? xxlnay?logax y?sinx y'?cosx y'??sinx y?cosx 第 2 页 共 6 页
注意：特例，e'?elogee?e,?lnx?'?xxx??11logee?。 xx⑦导数的四则运算法则：设f?x?,g?x?是可导函数， 加法 减法 推广 乘法 特例 除法 特例 复合函数求导法则：
一般地，对于两个函数y?f?x?,u?g?x?，如果通过变量u，把函数y表示成x的函数，那么称这个函数为函数y?f?x?和u?g?x?的复合函数，记作y?f[g?x?]。
复合函数求导法则为y'??f[g?x?]?'?fg?x??gx?''法则 简记 ?f?x??g?x??'?f'?x??g'?x? ?f?g?'?f'?g' ?f?x??g?x??'?f'?x??g'?x? ?f?g?'?f'?g' ?f1?f2???fn?'?f1'?f2'???fn' [f?x?g?x?]'?f'?x?g?x??f?x?g'?x? ?fg?'?f'g?fg' ?Cf?x??'?C'f?x??Cf'?x??Cf'?x? [f?x?f'?x?g?x??f?x?g'?x? ]'?g?x?g2?x??f?f'g?fg' ??'??g?g2??11'?g?x??1?g'?x?g'?x? []'???22g?x?g?x?g?x?df[g?x?]dg?x?df?u?du。 ???dg?x?dxdudx⑧利用导数求曲线切线：分两种情况i在点；ii过点（参见：人教社稿件）
⑨利用导数判断函数单调性：
i若在区间?a,b?内，f'?x??0，则f?x?在此区间是增函数，?a,b?为f?x?的单调增区间； ii若在区间?a,b?内，f'?x??0，则f?x?在此区间是减函数，?a,b?为f?x?的单调减区间。利用函数曲线的斜率也可以理解为：
i若在区间?a,b?内f'?x??0，则切线的倾斜角是锐角，函数曲线呈上升状态； ii若在区间?a,b?内f'?x??0，则切线的倾斜角是钝角，函数曲线呈下降状态。
⑩利用导数求函数极（最）值：山（波）谷对应极小值及极小值点；山（波）峰对应极大值
及极大值点。
已知函数y?f?x?，设x0是定义域?a,b?内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有（峰），则称函数f?x?在点x0处取极大值，并把x0称为f?x?的一个极大值点； f?x??f?x0?第 3 页 共 6 页
如果对x0附近的所有点x，都有f?x??f?x0?（谷），则称函数f?x?在点x0处取极小值，并把x0称为f?x?的一个极小值点。
极值点从导数y'?f'?x?的零点中筛选，最值从极值及端点值中筛选。 求函数极（最）值的步骤：
①求导数——求函数的导数y'?f'?x?； ②求零点——求导数y'?f'?x?的零点；
③列变化状态表——作出f'?x?,f?x?随x改变的变化状态表。【明确变化状态表的地位，认识变化状态表的重要性——一表在手，性质全有】 三、定积分与微积分基本定理：
①定积分的定义：设函数y?f?x?定义在区间[a,b]上，用分点a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，把区间[a,b]分为n个小区间，其长度依次为?xi?xi?1?xi,i?0,1,2,?,n?1。记??max??xi?，当??0时，所有的?xi?0。在每个小区间内任意取一点?i，作和式In? ?f????x。
iii?0n?1当??0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数y?f?x?在区间[a,b]上的定积分，记作
?f????x?f?x?dx。即：?f?x?dx?lim?aa?0ii?0bbn?1i。此时称函数在区间[a,b]上可积。
【其中f?x?叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，f?x?dx叫做被积式】 ②微积分基本定理：如果F'?x??f?x?，且f?x?在[a,b]上可积，则
?③常用定积分公式：
baf?x?dx?F?x?a?F?b??F?a?，
b【其中F?x?叫做f?x?的一个原函数，因为?F?x??C?'?F'?x??f?x?】
b1b1bb1??1????dx?lnx,a,b?0dx?ln?x,?a,b?0? （1）；（2）；??xdx?x,???1??aa?aaxax??1abb?bb1xbbbadx?a（3）；；（4）； edx?esinxdx??cosxcosxdx?sinx?a?a?aa?aaaalnabxxbbx④定积分基本性质公式：
i常数可提：?aCf?x?dx?C?af?x?dx(C为常数)；
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