发布时间 : 星期六 文章经济数学基础课后答案更新完毕开始阅读7faad142a2161479171128e1
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?C?E(Xi2?1)?2E(Xi?1Xi)?E(Xi)
n?1?????C??E(X)?(EX)?EX?E(X)? ?C???????C?n?1?2???,
i?1n?1i?1n?12i?122i2?C?E(Xi2?1)?2E(Xi?1)E(Xi)?EXi2
i?1n?1?2?2222i?1故 C?1
2?n?1?.7. 设总体X的密度函数是
??x??1，0?x?1,??0, f(x;?)??其他 .?0,x1,x2,?,xn是一组样本值，求参数α的最大似然估计量.
解 似然函数L???xii?1n??1n??n?xii?1n??1.
lnL?nln??(??1)?lnxi.
i?1dlnLnn???lnxi?0, d??i?1?n1n?(?lnxi)?1. 得 ??mni?1?lnxii?18. 设总体X服从韦布尔分布，密度函数是
f(x;?)???x??1e??xx?0,??0,??0
其中?为已知，X1, X2, … , Xn是来自X的样本,求参数?的最大似然估计. 解 似然函数 L?Π??Xi??1e??X
i?n?i?1
???ΠXi??1e??X.
nnin?i?1lnL?nln??nln??(??1)?lnXi???Xi?.
i?1i?1nndlnLnn????Xi?0, d??i?1从而得到
n??n?(1?X?)?1 Qin?i?1n?Xi?1i9.设总体X服从马克斯韦尔分布，密度函数是
x)?4x2?(?e,x?0,??0,?f(x;?)???3π
?0,x?0?X1, X2, … , Xn是总体X的样本，求?的最大似然估计. 解 似然函数
2L?Πnn4Xi2i?1?3π4Xi2πni?1e?x???i????2
n?X????i?i?1???2 ?Πi?1???3n?e 12?Xi nlnL?lnΠ
4Xi2π?3nln?-?2i?1 18
dlnL3n2n???3?Xi2?0 d???i?12n2??所以 a?Xi.
3ni?110.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，密度函数是
f(x;?)??e??xx?0,??0
今随机抽取14台，测得寿命数据如下(单位：小时)
1812 1890 2580 1789 2703 1921 2054 1354 1967 2324 1884 2120 2304 1480 求?的最大似然估计值. 解 由于指数分布?的最大似然估计
?n1??n?, 又X?2013
X?Xi?1i1. 201311.设总体X服从［a , b］区间上的均匀分布，x1,x2,?,xn是总体X的一组样本,求a和b的最大似然估计量.
解 似然函数
L?x1,x2,?,xn,a,b?? 所以 ????1,a?x1,x2,?,xn?b,?n(b?a) ??0,其他 .?由于似然方程组
n??L???a?b?a?n?1?0,? ??Ln????0,n?1??b?a???b无解，不存在驻点，考虑边界上的点， 因为a?x1,x2,?,xn?b,
故有a?min?x1,x2,?,xn?,
b?ma?x1,x2,?,xn?.
b?a越小L越大，所以当a?min?x1,x2,?,xn?,b? max?x1,x2,?,xn?时，L取到最大值.
即：a?min?x1,x2,?,xn?,b?max?x1,x2,?,xn?是a , b的最大似然估计量. 12.设总体X的密度函数为
f?x,???1? x???e?x?0,??0
1n?Xi是否为?的无偏估计？为什么？ ni?11解 因总体X是服从参数??的指数分布，由指数分布的期望公式知，
问X??EX?1???,
又 EX?EX,
所以 EX??, 即X是? 的无偏估计.
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13.求习题7,10,11中的参数的矩估计. 解 （7）由于
??1?EX??xf?x,??dx??x??x??1dx??
??0??1故
? ?V1，??1V1. 1?V1n解得 ????1?X?X. 取 V1ini?1??所以?的矩估计量?X. 1?X（10）已知f(x)??e??x，
n??1?X?X,V1ini?1
11V1?EX?，??.?V1??1?1?1. 所以 λ?X2013V1a?b?V?EX?,1??2（11）?
1222?V?EX?(a?ab?b),2?3??a?V?3(V?V2),?a?b?2V1,121?即 ?2 ??22?a?ab?b?3V2,??b?V1?3(V2?V1).n??1?X (K?1，用 V2）估计VK, Kini?12?a???X?3S0，得 ?
2???b?X?3S0，1n2其中 S0??(Xi?X)2.
ni?114．对球的直径作了5次测量，测量的结果是6.33 6.376.36 6.32 6.37(厘米)，试求样本均值和样本方
差.
1解 X?(6.33?6.37?6.36?6.32?6.37)?6.35(厘米)
51n1S2??(Xi?X)2?(0.022?0.022?0.012?0.032?
4i?142?40.02)?5.5?10.
15．在一批螺丝钉中，随机抽取16个，测其长度(厘米)为：
2.23 2.21 2.20 2.24 2.22 2.25 2.21 2.24 2.25 2.23 2.25 2.21 2.24 2.23 2.25 2.22
设螺丝钉的长度服从正态分布，试求总体均值μ的90％置信区间. (1)若已知?＝0.01 (2)若?未知
解 (1)由于已知?＝0.01，α＝0.1 u??u0.05?1.64.所以?的置信区间为
2
20
0.010.01??, X?1.64?X?1.64?1616?? 1nX??Xi?2.2316i?1故得?的90％置信区间为(2.226，2.234)
(2)由(1)知X?2.23
1161S2??(Xi?X)2??0.0042 15i?115 ?0.00028由α＝0.10，查自由度为15的t分布，得分位数
t0.1(15)?1.753. S20.0167X?t?(n?1)?2.23?1.753??2.223,n4S2X+t?(n1)=2.237.
n得EX的置信度为0.9的置信区间为
(2.223，2.237).
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16．设正态总体的方差σ为已知，问抽取的样本容量n应为多大，才能总体均值μ的置信度为0.95的置信
区间长不大于L.
σ解 正态总体置信区间长为2u?
n,2u??u0.025?1.96.
2由题意 2u?2σσ2?L?4?1.96?L2.
nn2σ2故 n?15.372.
L17．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以95％的置信度使他的平均反应时间
的估计误差不超过0.01秒，应取容量为多大的测量样本？
解 若假定反应时间X服从正态分布，则由16题解的结果可以直接求出n.
?2?0.052，L2?(2?0.01)2 0.052n?15.37()?96.060.02所以应取样本容量n＝97.
若没有正态性假定，则可用切贝绍夫不等式进行估计，但比较粗，此题因n较大，故可以假定其服从正态分布.
18．对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本，测得直径的均值为0.826厘米，样本标准差0.042厘
米，求滚珠轴承均值的95％与99％置信区间.
解 因样本容量n较大，故可假定滚珠轴承的直径x服从正态分布.
X?0.826，S?0.042. 由已知n?196，u??u0.025?1.96，U0.005?2.58.
2将上述各值代入置信区间公式中，可得
0.0420.042(0.826?1.96?， 0.826?1.96?)
196196?(0.820, 0.832).
0.0420.042(0.826?2.58?， 0.826?2.58?)
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