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《矿山压力与岩层控制》教案（第二版，王家臣，2007-12-20） 38
第四章 开挖空间周围应力分布的理论解
4.1 开挖空间周围应力分布的理论解
由于开采后的巷道和回采空间具有复杂的几何形状，以及开挖空间周围岩体也是属于非均质、各向异性的一种复杂介质。到目前为止，对于岩体的力学性质、原岩应力场等尚未完全掌握，所以还无法用数学的方法精确地求出开挖周围岩体内的应力分布状态。近年来，虽然随着计算机的发展，一些近似数学方法如有限元法等得到了应用，但对于采矿工程来说，仍然是一种必须经过大量简化后的近似方法。为了说明问题，可借助于有关理论先进行必要的简化理论分析。
4.1.1 双向作用应力场内的圆形孔
圆孔半径为r1，由弹性力学可求得孔周围任一点P（距孔心为r，与?2轴夹角为?）的应力值。径向应力为?r为：
σr σt σ1
σt+dσt σr+dσr
σ2=λσ1
r1 r θ P σ2=λσ1
σ1
?r???1??2???2r12???1??2??r12r14??1?42?34?cos2? ?1?r2?????2rr????
切向应力?t为：
?t?
??1??2???2r12???1??2??r14??1?34?cos2? ?1?r2?????2r????《矿山压力与岩层控制》教案（第二版，王家臣，2007-12-20） 39
下面分三种情况讨论：
（1）若取极限状况。??0，?2＝??1＝0，单向受压状况：
r12??1?r12r14??r??1?2???1?42?34?cos2? ???2?2rr??r???1?r12??1?r14??t??1?2???1?34?cos2? ????2?r?2?r??1?σr=0 σt=-σ1
周边应力分布
-
分析孔周边不同位置受力情况：
当??0?，r?r1时，cos180???1
+
σt=3σ1 + σ=0
r
- ?r?0，?t?3?1
当??90?，r?r1时，cos180???1
?r?0，?t??1?2?1???1
说明在孔顶、底边界出现了拉应力，孔的两侧出现了大的压应力。
（2）当??1，?1??2，双向等压情况：
??r12???r??1?1?是r的单增函数??r2?????与?无关
?r12???t??1??1＋r2??是r的单减函数????孔边应力分部见下图。
（3）实际在只考虑自重和构造应力情况时
r1 O 2σ1 σt σr σ1
?介于0～1之间，此时可适用前述理论公式进行圆孔周围围岩体内任一点
的径向应力?r和切向应力?t的分析及给出分布规律。
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4.1.2 椭圆形孔周边的应力分布
因为采矿工程有些开采后形成的空间形状类似于椭圆形孔，如长壁工作面的回采空间从开切眼推进一定距离后（条件是上覆岩层没有垮落情况下），可近似地视为椭圆孔，所以有必要讨论椭圆孔周边的应力分布，尤其是切向应力的分布。这对分析开采后形成的矿压是有益的。令椭圆孔的长轴为2a，短轴为2b，双向应力场分别为?1，?2。根据弹性理论，椭圆孔周边上任意点的切向应力?t为：
a θ b σt σ2=λσ1 σ1 ?t???1??2
??a?b???1??2???a?b???1??2???asin2??bcos2????
a2sin2??b2cos2?if ??0,?时，椭圆孔两侧的切向应力由下式计算：
??a?b???1??2???a?b???1??2????b???1?2a????
?t???1??2????122bb??取??1，即双向等压。?2???1??1
2a2a?t??1 令K?
bb??0时， 2a?b2a?b?t??1 令K?
bb 称K为孔边切向应力集中系数。
由此可知，孔两侧的最大切向应力?t将随孔的几何尺寸发生变化。孔越扁，a?，则应力集中系数K?。 ba当?2:1，则K=4~5。 b 当???3?2,2时：
??a?? 当??0时，?2???1?0， 则?t???1为拉应力。
2b??1 时，?2???1??1 则?t??1为压应力。
aa2?t???1??2????a?b???1??2???a?b???1??2??a??1?2b??2??1
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然后根据不同的?值和?角可分析孔周边切向应力?t的状况。一般来说，椭圆孔的长轴要平行于最大来压方向，可避免孔周边的?t产生拉应力。如??1时，a轴要平行于σ1方向。
这一分析是由北京科技大学于学馥于50年代提出的。通常称为轴变论。具
??a体的轴长比尽量与来压比的倒数1?一致，1一致。（?2???1∴??2）
b?2?1
σ2
σ2
σ1
σ1 拉应力区
好的布置
4.1.3 多孔存在时，周围应力分布的状况
不好的布置
以上所述为单一孔周围的应力重新分布情况，实际上在采矿工程中还经常会遇到多条巷道之间或回采空间对巷道的影响等问题。这些情况可简化为多孔的相互影响问题。一般来说，相邻两孔的影响程度及多孔周围的应力分布受到下列一些因素的影响：
（1）孔断面的形状及其尺寸大小； （2）相邻两孔相隔的距离； （3）同一水平内两邻孔的数目； （4）原岩应力场的性质及有关参数。
（1）断面相同的两个邻孔(双向等压)
由单一孔周围的切向应力分布可知，它有一个剧烈影响范围。一般以超过原
?r12?岩应力的5％外为界。令影响半径为Ri，则由公式?t??1??1?r2???双向等压圆
??孔周围的环向应力分布，?1为原岩应力。取?t?105%?1作为影响边界处的应力值。 则
?r12?1.05?1??1??1?R2??
i??r1 Ri B r1