发布时间 : 星期五 文章最新中考数学湖北省荆门市中考数学试卷(含答案)更新完毕开始阅读7b78b43259f5f61fb7360b4c2e3f5727a4e924d6
OB=25，OC=20，若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点N． （1）求点C的坐标；
（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，过C作CH⊥OB于H，根据勾股定理得到BC=CH=
=
=
=15，根据三角形的面积公式得到
=12，由勾股定理得到OH=
=
=
=16，于是得到结论；
=，设CM=x，则CN=x，根据
（2）∵根据相似三角形的性质得到已知条件列方程即可得到结论；
（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN=x，MN=x，①当∠OMQ1=90°MN=MQ时，②当∠MNQ2=90°，MN=NQ2时，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，过C作CH⊥OB于H， ∵∠C=90°，OB=25，OC=20， ∴BC=
=
=15，
∵S△OBC=OB?CH=OC?BC， ∴CH=∴OH=
=
=12， =16，
∴C（16，﹣12）；
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（2）∵MN∥OB， ∴△CNM∽△COB， ∴
=
=
=，
设CM=x，则CN=x，
∵△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等，
∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+x+MN=20﹣x+mn+15﹣x+25，解得：x=， ∴CM=
；
（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN=x，MN=x， ①当∠OMQ1=90°MN=MQ时， ∵△OMQ∽△OBC， ∴
=
，
∵MN=MQ， ∴=，
∴x=
，
∴MN=x=×
=
；
②当∠MNQ2=90°，MN=NQ2时， 此时，四边形MNQ2Q1是正方形， ∴NQ2=MQ1=MN， ∴MN=
．
③当∠MQN=90°，MQ=NQ时， 过M作MH⊥OB于H，∵MN=
MQ，MQ=
MH，∴MN=2MH，∴∵△OMH∽△OBC，∴=，∴x=，∴MN=x=．
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MH=x，
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
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