发布时间 : 星期二 文章2020版高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题第2课时定点与定值问题更新完毕开始阅读7afdecb866ec102de2bd960590c69ec3d4bbdb7e
即x1x2＋y1y2＝0，也就是x21－y21＝0， x21
又点A在椭圆C上，所以＋y21＝1，
425
解得|x1|＝|y1|＝.
5
25
此时点O到直线AB的距离d1＝|x1|＝.
5②当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋m， y＝kx＋m，??
与椭圆方程联立有?x2
＋y2＝1，??4
2
2
2
消去y，得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0， 8km4m2－4
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
1＋4k21＋4k2
因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB， →→
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝0， 所以(1＋k)x1x2＋km(x1＋x2)＋m＝0， 4m2－48k2m222
所以(1＋k)·－＋m＝0，
1＋4k21＋4k2整理得5m＝4(k＋1)，
25＝. 5k2＋1|m|
2
2
2
2
所以点O到直线AB的距离d1＝
25
综上所述，点O到直线AB的距离为定值.
5
x2
6.(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)如图，F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，A，
2
B是椭圆C上的两点，且都在x轴上方，AF1∥BF2，设AF2，BF1的交点为M.
11
(1)求证：＋为定值；
|AF1||BF2|(2)求动点M的轨迹方程.
(1)证明 方法一 如题图所示，由题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设直线AF1的方程为x＝x2??＋y2＝1，
my－1，与椭圆C的方程联立，由?2
??x＝my－1，
消去x，整理得(m＋2)y－2my－1＝0. 由题意知，Δ>0， 因为点A在x轴上方， 设A(xA，yA)，
2m＋22?m＋1?m＋2?m＋1?
所以yA>0，yA＝＝， 2
2?m＋2?m2＋21＋m2·[m＋2?m＋1?]
所以|AF1|＝1＋m2|yA－0|＝.
m2＋2直线BF2的方程为x＝my＋1，设B(xB，yB)，
－m＋2?m＋1?1＋m2·[－m＋2?m＋1?]
同理可得yB＝，|BF2|＝1＋m2|yB－0|＝， 2
m＋2m2＋2
2222
2
2
2
1m2＋21m2＋2所以＝，＝， 22
|AF1|1＋m2·[m＋2?m＋1?]|BF2|1＋m2·[－m＋2?m＋1?]11m2＋2m2＋2所以＋＝＋ 22
|AF1||BF2|1＋m2·[m＋2?m＋1?]1＋m2·[－m＋2?m＋1?]11m2＋2??＋?? 22
1＋m2?m＋2?m＋1?－m＋2?m＋1??
＝
m2＋2?22?m2＋1??＝?22?＝22.
1＋m2?2?m＋1?－m?11所以＋为定值.
|AF1||BF2|
方法二 如图所示，延长AF1交椭圆于B1，由椭圆的对称性可知|B1F1|＝|BF2|，
1111
所以要证＋为定值，只需证＋为定值.
|AF1||BF2||AF1||B1F1|
设直线AF1的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B1(x2，y2)，y1>0，y2<0，与椭圆C的方程联立，x2??＋y2＝1，
由?2??x＝my－1，
2
消去x，整理可得(m＋2)y－2my－1＝0， 由题意知，Δ>0，
2m1所以y1＋y2＝，y1y2＝－.
m2＋2m2＋2
1?1111?11?11y2－y1
＋－?所以＋＝＝＝ ????|AF1||B1F1|m2＋1?|y1||y2|?m2＋1?y1y2?m2＋1y1y2－?y1＋y2?－4y1y28?m＋1?
＝·＝＝22.
y1y2m2＋1m2＋1
1
2
2
2
11所以＋为定值.
|AF1||BF2|
(2)解 方法一 设直线AF2，BF1的方程分别为
x＝k1y＋1，x＝k2y－1，
k1＋k2x＝??k2－k1，解得?2
y＝??k2－k1.??x＝k1y＋1，
联立，得?
?x＝k2y－1，?
?k1＋k2，2?.
所以点M的坐标为???k2－k1k2－k1?
xA－1myA－22
又由(1)方法一可得k1＝＝＝m－，
yAyAyA
xB＋1myB＋22
＝＝m＋， yByByB
k2＝22?11?所以k1＋k2＝m－＋m＋＝2m＋2?－?
yAyB?yByA?
m＋2?m＋m2＋2－?＝2?? 22
2?m＋1?－m2?m＋1?＋m??
＝2(m＋2m)＝6m，
2
m＋2?m2＋2＋?k2－k1＝2??＝42m2＋1. 22
2?m＋1?＋m??2?m＋1?－mk1＋k2
x＝??k2－k1＝4所以?2
y＝??k2－k1＝43m
＝，2m2＋122m2＋1＝，
2m2＋122m2＋12
1
6m
2
x2y2
所以动点M的轨迹方程为＋＝1(y>0).
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方法二 如图所示，设|AF1|＝d1，|BF2|＝d2，因为AF1∥BF2，