发布时间 : 星期日 文章2018-2019学年上海市嘉定区高二（下）期末数学试卷更新完毕开始阅读79acc5b2750bf78a6529647d27284b73f2423683
（2）＝＝．
因为x＞0，当且仅当x＝所以当
，
时，等号成立， 时，
取得最小值．
【点评】本题考查组合及组合数公式，有情景，新定义，理解题意很关键．
20．（16分）被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”“灯者立方去其八角也”，，如图所示，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Pi（i＝l，2，…24）为棱上的四等分点， （1）求该方灯体的体积．
（2）求直线P1P2和P6P11的所成角． （9）求直线P9P13和平面P1P2P9的所成角．
【分析】（1）利用正方体性质能求出该方灯体的体积．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线P1P2和P6P11的所成角．
（3）求出平面P1P2P9的法向量，利用向量法能求出直线P9P13和平面P1P2P9的所成角． 【解答】解：（1）∵在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 点Pi（i＝l，2，…24）为棱上的四等分点， ∴该方灯体的体积： V＝4×4×4﹣
＝
．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
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P1（3，0，4），P2（4，1，4），P6（0，3，4），P11（0，4，3），
＝（1，1，0），
＝（0，1，﹣1），
设直线P1P2和P6P11的所成角为θ， 则cosθ＝
＝，
∴直线P1P2和P6P11的所成角为60°． （3）P9（4，0，3），P13（4，0，1），设平面P1P2P9的法向量＝（x，y，z）， 则
，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
＝（0，0，﹣2），
＝（1，0，﹣1），
设直线P9P13和平面P1P2P9的所成角为θ， 则sinθ＝
＝
＝
，
∴直线P9P13和平面P1P2P9的所成角为arcsin．
【点评】本题考查多面体的体积、异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．（18分）双曲线
﹣
＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且
与双曲线交于A．B两点． （1）若l的倾斜角为
，a＝
，△F1AB是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程．
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（2）a＝，b＝l．若l的斜率存在，且（+）?＝0，求l的斜率．
（3）证明：点P到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值双曲线上的必要非充分条件．
【分析】（1）代入x＝c，求得y，可得2c＝线方程；
是该点在已知
，解方程可得c，b，进而得到所求双曲
（2）设直线方程为y＝k（x﹣2），联立双曲线方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得AB的中点M的坐标，由向量的加减和数量积的性质可得|F1A|＝|F1B|，可得k的方程，解方程可得k的值；
（3）设P（x0，y0），双曲线的两条渐近线为bx±ay＝0，运用点到直线的距离公式，以及充分必要条件的定义，即可得证． 【解答】解：（1）l的倾斜角为代入双曲线方程可得y＝±
，
， ，a＝
，可得直线l：x＝c，
△F1AB是等腰直角三角形可得2c＝即有2解得c＝
c＝b2＝c2﹣a2＝c2﹣3， +
，b2＝c2﹣a2＝6+6
﹣
，
则双曲线的方程为（2）a＝
＝1； ＝2，
，b＝l．可得c＝
l的斜率存在，设为k，设直线方程为y＝k（x﹣2）， （
+
）?
＝（
+
）（?
﹣
）＝
2
﹣
2
＝0，
可得|F1A|＝|F1B|，
由y＝k（x﹣2），k＜0，联立双曲线方程x2﹣3y2＝3， 可得（1﹣3k2）x2+12k2x﹣12k2﹣3＝0， 可得x1+x2＝由F1M⊥l，可得k
，AB的中点M为（＝
＝﹣，
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，），
解得k＝±
，满足△＝144k4+4（12k2+3）（1﹣3k2）＞0，
；
故直线l的斜率为±
（3）证明：设P（x0，y0），双曲线的两条渐近线为bx±ay＝0， 可得P到渐近线的距离的乘积为
?
＝
＝
，
即为|b2x02﹣a2y02|＝a2b2，可得
﹣＝±1，
可得P在双曲线﹣＝1或﹣＝﹣1上，
即有点P到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，以及韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件，考查点到直线的距离公式，以及充分必要条件的判断，属于中档题．
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