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2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2013?黑龙江）若存在正数x使2（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质． 专题：不等式的解法及应用． 分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．
x
解答： ：因为2（x﹣a）＜1，所以， 解
函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1， 所以a的取值范围是（﹣1，+∞）． 故选：D． 点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力． 2．（2012?陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ）
A．a＜v＜ B．v= C．＜v＜ D．v= 考点：基本不等式． 专题：计算题；压轴题． 分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基
本不等式及作差法可比较大小 解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S
则v== ∵0＜a＜b ∴a+b＞0 ∴
∵v﹣a=== ∴v＞a 综上可得， 故选A 点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用， 比较法中的比差法在比较大小中的
应用．
x
3．（2008?江西）已知函数f（x）=2x+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ） A．[﹣4，4] B．（﹣4，4） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，﹣4） 考点：一元二次不等式的应用． 专题：压轴题．
2
分析： 函数f（x）判断△=m﹣16＜0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和﹣4进行对
讨论可得答案．
2
解答： 解：当△=m﹣16＜0时，即﹣4＜m＜4，显然成立，排除D
2
当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A；
当m=﹣4，f（x）=2（x+2），g（x）=﹣4x显然成立，排除B； 故选C． 点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口
方向、对称轴和判别式． 4．（2006?重庆）若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（ ） A． B． C． D． 考点：基本不等式在最值问题中的应用． 专题：压轴题． 分析：已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式 解答：解：若a，b，c＞0且，
所以， ∴，
则（2a+b+c）≥， 故选项为D． 点评：本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式．
2
5．（2004?山东）a+b=1，b+c=2，c+a=2，则ab+bc+ca的最小值为（ ） A．﹣ B．﹣ C．﹣﹣ D．+ 考点：基本不等式． 专题：计算题；压轴题． 分析：先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得
解．
2222
解答： ：∵b+c=2，c+a=2， 解
222222
∴b+c=c+a
22∴b=a
22
又a+b=1，
所以当a=b=，c=﹣ 时ab+bc+ca有最小值为：×+×（﹣）+×（﹣）=﹣， ab+bc+ca的最小值为﹣， 故选B． 点评：本题解题的关键是通过已知条件求得a，b和c值，然后代入即可．
二．解答题（共25小题）
6．（2007?重庆）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），
*
n∈N．
（1）求{an}的通项公式；
*
（2）设数列{bn}满足，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式；不等式的证明． 专题：计算题；证明题；压轴题． 分析： （1）先根据题设求得a1，进而根据an+1=Sn+1﹣Sn整理得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0求
2222
得an+1﹣an=3，判断出{an}是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得．
（2）把（1）中的an代入可求得bn，进而求得前n项的和Tn，代入到3Tn+1﹣log（2an+3）
中，令，进而判断出f（n+1）＞f（n），从而推断出3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0，原式得证． 解答： 解：（1）由，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1＞1，因此a1=2，
又由，
得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0，
即an+1﹣an﹣3=0或an+1=﹣an，因an＞0，故an+1=﹣an不成立，舍去 因此an+1﹣an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列， 故{an}的通项为an=3n﹣1 （2）证明：由可解得； 从而 因此 令，则
因（3n+3）﹣（3n+5）（3n+2）=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n） 特别地，从而3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0 即3Tn+1＞log2（an+3） 点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．涉及了不等式的证明，综合考查了学生对数列
知识的灵活运用．
7．（2007?上海）如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am﹣1，…，am=a1，即ai=am﹣i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出{bn}的每一项；
（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S；
（3）设{dn}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求{dn}前n项的和Sn（n=1，2，…，100）．
考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法． 专题：计算题；压轴题；新定义． 分析： （1）由b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1=2，b4=11，先求b1，b2，b3，b4，然后由对
称数列的特点可写出数列的各项．
32
（2）由c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，先求出c25，c26，…，c49通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和
（3）由d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列，可求该数列d51，d52，…，d100的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和 解答： 解：（1）设数列{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2．
22425
（2）S=c1+c2+…+c49=2（c25+c26+…+c49）﹣c25=2（1+2+2+…+2）﹣1=2（2﹣1）﹣26
1=2﹣3=．
（3）d51=2，d100=2+3×（50﹣1）=149． 由题意得d1，d2，，d50是首项为149，公差为﹣3的等差数列． 当n≤50时，Sn=d1+d2+…+dn=．
当51≤n≤100时，Sn=d1+d2+…+dn=S50+（d51+d52+…+dn） ==
综上所述， 点评：本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项
及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用．
8．（2007?福建）数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N）． （Ⅰ）求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．
考点：数列的求和；数列递推式． 专题：计算题；压轴题． 分析： （I）利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为Sn+1与Sn之间的关系，从而确定数列an的通
项；
*
（II）由（I）可知数列an从第二项开始的等比数列，设bn=n则数列bn为等差数列，所以对数列n?an的求和应用乘“公比”错位相减． 解答： 解：（I）∵an+1=2Sn，
∴Sn+1﹣Sn=2Sn， ∴=3． 又∵S1=a1=1，
n﹣1
∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3（n∈N*）．
n﹣2
∴当n≥2时，an﹣2Sn﹣1=2?3（n≥2）， ∴an=
（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan， 当n=1时，T1=1；
01n﹣212n﹣1
当n≥2时，Tn=1+4?3+6?3+…+2n?3，①3Tn=3+4?3+6?3+…+2n?3，②
12n﹣2n﹣1
①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（3+3+…+3）﹣2n?3=2+2?=﹣1+（1﹣2n）?3n﹣1
n﹣1
∴Tn=+（n﹣）3（n≥2）．
n﹣1
又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3（n∈N*） 点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分
类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．
9．（2007?上海）若有穷数列a1，a2…an（n是正整数），满足a1=an，a2=an﹣1…an=a1即ai=an
，就称该数列为“对称数列”． ﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n）
（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{bn}的每一项
（2）已知{cn}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且ck，ck+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，2…21
成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．
考点：数列与函数的综合． 专题：计算题；压轴题；新定义．
2m﹣