发布时间 : 星期一 文章2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系练习理北师大版更新完毕开始阅读7902627c473610661ed9ad51f01dc281e53a5623
高考总复习
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[基础题组练]
1．(2020·江西上饶一模)直线ax－by＝0与圆x＋y－ax＋by＝0的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离
D．不能确定
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?a??b?a＋b，所以圆心坐标为解析：选B.将圆的方程化为标准方程得?x－?＋?y＋?＝
4?2??2?
22
a2＋b2?a，－b?，半径r＝a＋b.因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝
＝＝r，?22?22??a2＋b2
?a＋b?
?22???
22
所以直线与圆相切．故选B.
2．圆(x－3)＋(y－3)＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
2
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|9＋12－11|
解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线
5与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
3．(2020·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x＋y＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.6或－6 C.6
B．5或－5 D．5
2
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2
2
解析：选B.因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x＋y＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得
|a|1＋（－2）
2
2
＝1，所以a＝±5，故选B.
2
2
4．已知圆O1的方程为x＋(y＋1)＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )
A．(x－2)＋(y－1)＝6 B．(x－2)＋(y－1)＝22
1
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2
高考总复习
C．(x－2)＋(y－1)＝6或(x－2)＋(y－1)＝22 D．(x－2)＋(y－1)＝36或(x－2)＋(y－1)＝32
解析：选C.设圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝r(r>0)．因为圆O1的方程为x＋(y＋|r－14|
1)＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r－10＝0，圆心O1到直线AB的距离d＝，
42
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2222
（r－14）222
由d＋2＝6，得＝2，所以r－14＝±8，r＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)
32
2
2
22
＋(y－1)＝6或(x－2)＋(y－1)＝22.
5．(2020·广东湛江一模)已知圆C：(x－3)＋(y－3)＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝( )
A．2或10 C．4或6
2
2
2
222
B．4或8 D．2或4
2
解析：选B.圆C：(x－3)＋(y－3)＝72的圆心C的坐标为(3，3)，半径r＝62， 因为直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为2， |6－m|
则有d＝＝2，
1＋1解得m＝4或8，故选B.
→→
6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA·OB＝________．
→→解析：在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝3，可得∠AOB＝120°，所以OA·OB＝1
1×1×cos 120°＝－.
2
1
答案：－
2
7．已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________．
解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB||2×1－2＋b|＝2可知，圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是
5＝1，解得b＝±5.
答案：±5
8．(2020·广东天河一模)已知圆C的方程为x－2x＋y＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝________．
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高考总复习
解析：由x－2x＋y＝0，得(x－1)＋y＝1，则圆的半径r＝1，圆心C(1，0)， 直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点， 当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，
此时△ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d＝则有|2－k|1＋k＝2
2
，解得k＝1或7. 2
2， 2
2222
答案：1或7
9．圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程． 解：(1)因为圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4， 所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2. 又|O1O2|＝（2－0）＋（1＋1）＝22， 所以r2＝|O1O2|－r1＝22－2.
所以圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝12－82. (2)设圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝r2， 又圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4，
相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r2－8＝0. 设线段AB的中点为H，
因为r1＝2，所以|O1H|＝r1－|AH|＝2. |4×0＋4×（－1）＋r2－8||r2－12|
又|O1H|＝＝， 22
4＋442|r2－12|22
所以＝2，解得r2＝4或r2＝20.
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所以圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝4或(x－2)＋(y－1)＝20.
10．已知抛物线C：y＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程． 解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
??x＝my＋2，2由?2可得y－2my－4＝0，则y1y2＝－4. ?y＝2x?
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高考总复习
（y1y2）
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
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y21y22
2
y1y2－4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆Mx1x24
上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m＋4. 故圆心M的坐标为(m＋2，m)，圆M的半径
2
2
r＝（m2＋2）2＋m2.
→→
由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
12
所以2m－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
2
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为10，圆M的方程为(x－3)＋(y－1)＝10.
1?1?9
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为?，－?，圆M的半径为
2?2?49?2?1?28585?，圆M的方程为?x－?＋?y＋?＝.
4?4??2?16
[综合题组练]
1．(2020·安徽马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－3)＋(y－a)＝4上存在两点A，B满足：∠AOB＝60°，则实数a的最大值是( )
A．5 C.7
B．3 D．23
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解析：选C.根据题意，圆C的圆心为(3，a)，在直线x＝a上， 分析可得：当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小，
如图：当a>0时，圆心C在x轴上方，若OA、OB为圆的切线且∠AOB＝60°，此时a取得最大值，
此时∠AOC＝30°，
有|OC|＝2|AC|＝4，即(3－0)＋(a－0)＝16，
4
2
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