发布时间 : 星期五 文章高中物理中的临界与极值问题更新完毕开始阅读7879b40c195f312b3069a53a
联立解得最短的时间t1?2s （7）
32t1 滑行段的位移、初速度、加速度分2323222别为15?t1、3t1、-2，设滑行段末速度为vt，则vt?(3t1)?2?(?2)(15?t1)
22证明：设恒力F作用时间为t1，则加速段位移s1?2解得vt?15t1?60?0，故t1?2 即恒力作用时间最小需要2s。
亦即滑行至末速恰好为零所需的时间为2s (也可通过v-t图像证略) 。
例题8． 甲车以v1在平直的公路上匀速行驶，乙车在甲车后方距离甲车S处以更大的速度v2同向行驶，如果甲车的行驶速度保持不变，为了确保两车不相撞，乙车做匀减速直线运动的加速度大小至少为多大？
解法一：临界状态为乙车从v2匀减速至v1时恰好追上甲车。设乙车做匀减速直线运动的加速度最小值为a，恰追上时历时t0则v乙=v2?at0 令v乙=v2?at0=v1 解得t0?v2?v1 a12v2?v11v2?v12v22?v12v2?v1?a?()?又因为s甲=v1t0?v1? s乙=v2t0?at0?v2?
2a2a2aa(v2?v1)2令s甲+s?s乙 解得a?
2s解法二：以甲车为参照物，乙车的相对初速度为v2?v1，设加速度（亦即相对加速度）为a
22相对末速度为0，相对位移为S，则有(v2?v1)?0?2as 所以
(v2?v1)2a?
2s例题9．如图所示，竖直放置的U形导轨宽为L，上端串有电阻R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。
金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab保持水平下滑。试求ab下滑的最大速度vm。
解析：释放瞬间ab只受重力，开始向下加速运动，只要ab有速度，在ab上就会产生动生电动势，在回路中就会产生电流，由左手定则知，ab会受到向上的安培力的作用。动生电动势会随着速度的增大而不断的增大，回路中电流就会不断的增大，根据F安=BIL，安培力会不断的增大，则ab做加速度减小的加速运动，其速度不会无限的增大，当F安?mg?0时，其加速度就变为0，速度达到最大，开始做匀速直线运动。因此，在从变速运动状态变到匀速状态之间有一个速度达到最大的状态，此状态的临界条件就是ab受的的重力大小等于安培力大
mgRB2L2vmvm?22F??mgRBL 小。抓住这个临界条件，由，可得
例题10-1．如图所示，m =4kg的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。要使后壁
对小球不产生力的作用小车的加速度应满足的条件？
解析：小车向左加速或向右减速时，后壁对小球的作用力N有可能减为零，这时小球将离开后壁而“飞”起来。这时细线跟竖直方向的夹角会改变，因此细线拉力F的方向会改变。所以必须先求出这个临界值。分析知在该临界状态下，
小球竖直方向平衡， 则Fcos37=mg 细线拉力水平分量使得小球在水平方向加速，则Fsin37?ma 联立解得 小车向左加速或向右减速的加速度大小至少为a=g?tg37
例题10-2.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(a＜g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。 解析：以拴接于簧下的物体为研究对象，设物体与平板整体向下运动的距离为x时，物体受重力mg和弹簧的弹力F=kx及平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：
mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma
000x?当N=0时，物体与平板分离，所以分离时
m(g?a)k
1t?x?at22依，则
2m(g?a)ka。
例题10-3．如图1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的
水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A
F A B 与B一起运动时的水平力F的范围。
60° 解析： 当水平推力F很小时，A与B一起做匀加速运动，当F较大时，
图1
B对A的弹力FN竖直向上的分力大小等于A的重力时，地面对A的支持FFy 力FNA为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件是
A Fx 60F 水平力F为某一值时，恰好使A沿A、B接触面向上滑动，即物体A对地面的压力恰Mg 图2 好为零，受力分析如图2。
对整体有：F?2M?a；
?F?Fsin60?Ma， F?0NNA隔离A，对于的临界状态有
FNcos60??Mg?0。
解得：F?23Mg
所以F的范围是0≤F≤23Mg
?例题10-4．某斜面放在水平地面上，倾角??53，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面
顶端，如图3所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m的弹力。（g取10ms2s2的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球
a ）
θ 图3 解析：斜面由静止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a
的增大而减小，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度a?10ms2，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小
球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。
设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图4所示。显然有
2mg?ctg??ma0 代入数据解得a0?7.5m/s
? ma0
G 图4
2因为a?10m/s＞a0，所以小球已离开斜面，斜面的支持力FN?0。
同理，由受力分析可知，细绳的拉力为：
T?(mg)2?(ma)2?2.83N
此时细绳拉力T与水平方向的夹角为：??arctgmg?45 ma例题10-5．如图8所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道位于竖直平面内，其最低点与水平地面相切于A点，一个质量为m的小球以某一速度从C点冲上轨道，当小球将要从轨道口B点飞出时，轨道的压力恰好为零，则（1）小球到达B点的速度为多大？（2）落地点C距A处多远？
解析：小球在B点受重力mg、轨面向下的弹力NB，依牛顿
vB2vB2?mg=0 第二定律有mg?NB?m 而依题意知NB?mRR所以 vB=Rg 4R 所以落点C到轨道最低点A距离为g小球离开B点后平抛运动历时t?
x?vB?4R?2R g例10-6.(99年全国卷)如图示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为(参考答案:C) A.m1g/k1 B.m2g/k2 C.m1g/k2 D.m2g/k2
【解析】此题属于较为简单的问题，是考察胡克定律及共点力平衡条件的题目．题中物体间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．缓慢上提过程，说明整个过程系统始终处于一种动态平衡状态，直至m1离开上面的弹簧．同时还应注意m1刚离开上面弹簧的临界状态是该簧恰处自然长度。初态时下面的弹簧被压缩，其压缩量为(m1 + m2)g／k2，而ml刚离开上面的弹簧时，下面的弹簧仍处于压缩状态，压缩量为m2g／k2，因此m2移动距离△x＝(m1 + m2)·g／k2 - m2g／k2＝mlg／k2．选C.
例题11-1．.汽车在平直的水平路面上以20m行的加速度大小为2ms的速度匀速行驶，关闭发动机油门后匀减速滑
s2，最远还可以滑行多少距离？
vt2?02202?02??100(m) 解析：最远还可以滑行s?2a2?(?2)例题11-2．如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，
电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，
欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？ 解析：带电粒子射入磁场后，由于速率大小的不同，导致粒子轨迹半径不同，如图所示。当速率最小时(设为v1)，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径r=L/4，
mv1eBL，得v1? 当速率最大时(设为v2)，粒子恰 Be4mL222好从c点射出，由图可知其半径R满足R?L?(R?) 即
25LR?，
4mv25eBL又依据R? 故v2?
eB4m再由r?所以电子速率v的取值范围为：。
点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的方向，由于入射粒子的速度大小不